前言
一般的，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，()，其中，且，，，，，称这样的分布列为超几何分布列，如果随机变量的分布列具有下表的形式，则称随机变量服从超几何分布。
如果服从参数为，，的超几何分布，记作，其数学期望。
一般的，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，()，此时称随机变量服从二项分布，记为，并称为成功概率，称为失败概率，当然成功和失败只是抽象的说法。
解释：二项展开式中，事件发生次，即对应展开式中的含的项，其为，即，
若随机变量服从二项分布，记为，则，；
【例题】袋中有 个白球、 个黑球，从中随机地连续抽取 次，每次取 个球．求：
(1). 有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；
解析：有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为0，1，2，3．
又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，
故随机变量服从二项分布，则有
；；
；
则随机变量的分布列如图所示。
(2). 不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列．
解析：不放回抽样时，取到的黑球数 可能的取值为，，．由于球的大小完全相同，只是颜色不同，故从中随机地连续不放回抽取 次，每次取 个球，与顺序无关，总的取球的次数应该是 ，而不应该是或者
且有
；
；
；
则随机变量 的分布列如图所示。
【感悟反思】：1、注意这两个概率模型的区别和联系，二项分布的典型例子就是一个熟练射手的次射击；超几何分布的典型例子就是抽次品。
2、通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．
①考查对象分两类，当然在具体题目中可能需要我们将数据人为分为两类。
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考查某类个体的个数的概率分布；
④主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型。
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
④随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数。
①超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
②超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取（独立重复）；
③由解题的实际经验可得，题目中给定了概率的，基于概率计算的往往是二项分布；题目中给定了数字，基于数字计算概率的往往是超几何分布。
超几何分布和二项分布都是离散型分布，当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
①10件产品中含有3件次品，从中任意取4件产品，所取出的次品件数服从超几何分布；
②袋中有8红球4白球，从中任意摸出5个球，摸出红球个数服从超几何分布；
③某班45个学生，女生20人，现从中选7人做代表，代表中所含女生的人数服从超几何分布；
④15张卡片中含有5件写有“奖”字，从中任意取3件产品，所取出的卡片中含有奖字的卡片张数服从超几何分布；
⑤10位代表中有5位支持候选人，随机采访3人，其中支持候选人的人数服从超几何分布；
⑥盘中装有10个粽子，豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，从中任选3个，取到的豆沙粽的个数服从超几何分布；
注意：在具体题目中，可能需要将上述的三类数据转化为两类数据：豆沙粽子和非豆沙粽子。
①一个狙击手连续射击10次，每次中10环的概率都是0.98，则其击中10环的次数服从二项分布；
②10个狙击手各射击1次，每人击中10环的概率都是0.95，则其击中10环的人数服从二项分布；
③抛掷枚相同的骰子，为出现点数为1的骰子数；则；
④个新生婴儿，为男婴的个数，则；
⑤某产品的次品率为，为个产品中的次品数，；
⑥女性患色盲的概率为，为任取个女人中患色盲的人数，；
⑦吊灯上并联着5个灯泡，每个正常工作的概率都是0.7，则正常工作的灯泡数；
⑧用户购买100件某产品，该产品的质量指标值位于之间的概率都是，表示质量指标值位于之间的产品件数，则；
⑨从该市学生中随机选取5名学生，记为身高在的学生人数，且身高在的频率为，则；
【例题】【2018陕西省第三次质量检测数学理科第19题】2018年春节期间，为了解市民对西安地铁运营状况的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对其评分(满分为100分，评分均为整数)，绘制频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
(1). 若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度。现从全市市民中随机抽取了4人，估计这4人中至少有2人非常满意的概率；
解析：首先由频率分布直方图计算得到，市民非常满意的概率为，
由题目可知市民的满意度评分相互独立，随机抽取4人做调查，到此我们就可以理解相当于做了4次独立重复试验，每次试验满意概率为，不满意概率为，这样就只能考虑二项分布而不是超几何分布了。
令满意人数为，则，且，
故所求的概率即，
或.
(2). 在等级为不满意市民中，老年人占比，现从该等级市民中按年龄分层抽取了15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记为老年督导员的人数，求的分布列和数学期望.
解析：抽取的15中，老年人占，其他人占 10 人，从中抽取 3 人担任督导员，是无放回抽取，故容易理解是超几何分布。
且 ，；
故，，
，，
则随机变量 的分布列如图所示：
(3). 相关部门对西安地铁运营状况进行评估，评估的硬指标是：市民对西安地铁运营状况的满意指数不低于0.8，否则需要整改，根据你所学的统计知识，判断地铁运营状况能否通过评估，并说明理由。(备注：满意指数=)
解析：由频率分布直方图求平均数，得到，
即市民满意度的平均分为，满意度指数为；即地铁运营状况能够通过验收。
【例题】【2019届凤中理科月考1第18题】高一某班有男女参加心理社，在这名同学中，有名同学初中毕业于同一个学校，其余名同学都毕业于其他所不同的学校，现从这名同学中随机抽取名同学参加某活动(每位同学被选到的概率都相同)。
（1）求选出的名同学初中毕业于不同学校的概率；
分析：从名同学中任取名同学，共有种等可能的结果，故属于古典概型，
令“选出的4人初中毕业于不同学校”为事件，
【法1】直接法，从正面求解，选出的4人的毕业学校全不相同，
则
【法2】间接法，从反面求解，选出的4人的毕业学校不全相同，
则
（2）设为选出的名同学中的女同学，求随机变量的分布列和数学期望；
分析：随机变量的所有可能取值为，则其服从超结合分布，
，()
则有；
；
；
；
；
故则随机变量 的分布列如图所示：
期望。
