如果张三说剪刀石头布没有稳定解，那他肯定不懂纳什均衡。
但张三反驳：我学过纳什均衡啊，但剪刀石头布哪里来的稳定解？你出布我就出剪刀，你出剪刀我就出石头，你出石头我就出布，哪里稳定了？
我猜张三学的纳什均衡：
要么停在了囚徒困境的案例里，他明白了囚徒困境，但以为那就是全部；
要么直接背下了拓扑学和不动点定理，却没有真正理解纳什均衡是怎么出发的。
张三的问题在于，他虽然似乎学过纳什均衡，但还停留在非常直觉的层面：每一局只能选剪刀、石头或布中的一个。
在专业术语里，这叫纯策略。
如果只允许纯策略，那剪刀石头布确实没有稳定解，因为当对方变了选择，张三就得跟着变，而当张三变了选择，对方又有新选择，如此循环下去，无穷尽也。
纳什均衡真正精妙的一步，就是跳出了纯策略的限制。
它允许张三在三个动作之间分配概率。
于是稳定解就诞生了：
（1/3剪刀，1/3石头，1/3布）。
这类策略在专业术语里叫做混合策略。
纯策略下，张三只能从剪刀石头布里三选一。
用数学的话说，叫做选择是离散的。
混合策略思维下，张三有无穷多种选择，（0剪刀, 0石头,1布）是一种选择，（1/2剪刀, 1/2石头, 0布）是一种选择，（8/17剪刀, 7/17石头, 2/17布）也是一种选择。
用数学的话说，叫做选择是连续的。
从纯策略到混合策略，是张三视角转换的一小步。
把可选择的空间，从离散变成了连续，则是博弈论进化史上的一大步（这是冯诺依曼的贡献）。
看到这，我猜张三应该明白纳什均衡了。
所谓纳什均衡，就是：
在一个博弈中，在给定其他人策略的情况下，每个参与者都已经做出了自己的最优选择。
在这个状态下，任何一个人如果单方面改变自己的策略，都不会让自己变得更好。
因此，没有人有动机单独偏离当前的选择。
而有了混合策略，剪刀石头布就有了它的稳定解，有了它的纳什均衡。
然而张三又问：为什么剪刀石头布的纳什均衡是（1/3剪刀，1/3石头，1/3布）？
因为，如果张三的概率分配不平均，例如给剪刀多分配了一些，对手就会专出石头。
张三发现对方专出石头，如果他也跟着专出布，这就又是一个「循环下去，无穷尽也」的故事。
只有张三把三个概率都调整为1/3时，对手也没有了改进的空间，这时候的解，才能稳定下来。
张三的问题又来了：存在这么一个稳定解，是剪刀石头布这个游戏特殊情况，还是放之四海而皆准的普遍现象？
真正让纳什拿下诺贝尔经济学奖的，正是对张三的这个问题的回答。
从纯策略到混合策略，张三的可选范围从原来的剪刀、石头、布三个点，变成了所有概率组合构成的一个面。
张三的对手们，也都有这样一个面。
每个人都会在自己的面里，找到对自己最有利的那个点。
把每个人选择的那个点列出来，我们就得到了一串策略，术语叫做：构成了一个策略组合。
张三要的稳定解，实际上就是这样一个策略组合：每个人的策略，恰好都是对其他所有人策略的最优回应。
具体来说：
1、在这个策略组合上，张三已经是最优回应别人；
2、别人对张三也是最优回应；
3、谁都没有理由离开他们自己所选择的策略。
这个互相锁定的状态，就是让整个系统稳定的解，就是纳什均衡。
而纳什证明了，一般情况下，这样的互相锁定一定存在。
那这里的一般情况下，到底是个什么情况呢？
纳什证明，博弈只需要满足下面三个数学条件：
1、张三可以进行任意微小的调整，从张三的可选择的面上的一点移动到任意另一点，所经过的点也都在面上。术语叫做凸性（任意两点连线仍在集合内）。
2、当张三对自己的策略进行了很微小的调整，对他的结果的影响也是微小的。术语叫做连续性（微小调整带来微小变化）。
3、这个面有边界。术语叫做紧性（有边界且包含边界）。
数学就保证：这样的互相锁定一定存在。
而在参与者有限和纯策略数有限的情况下，博弈天然满足这三个条件。
张三的问题来了：数学拿什么来保证？
数学上保证这个点存在的理论，叫做不动点定理。
所谓不动点，就是经过某个操作之后，还在原地的那个点。
所有人都从自己可选的面上的一个点出发，找到当前局面下对自己最有利的那个点。
如果这个过程把任意一个人带到了一个新的点，那原来的点就不是均衡。
但如果所有人都发现，对自己最有利的点，刚好就是自己当前站着的这个点，那这个点就是不动点。
张三没有理由离开它，别人也没有理由离开它，这就构成了纳什均衡。
所以，是否存在纳什均衡这个问题，在数学上就转换成了：这个找最优点的过程，是否至少存在一个不动点。
纳什1950年那篇著名的论文，就是把博弈的局面精确地翻译成了这套数学语言，然后说：
根据角谷静夫（Kakutani）1941年的对不动点定理的证明可知，均衡点存在。
还有一个前面没说但大家都知道的是，纳什均衡是稳定解，但不是全局最优解。
就像囚徒困境中，对两个理性的囚徒来说，全局最优解是双方保持沉默啥也别说。
但是全局最优解并不是这个系统的稳定解。
两个理性的囚徒，把什么都说了。
讲完张三的剪刀石头布，现在我们穿越到公元221年的夷陵之战前夕，来看看孙权和曹丕的剪刀石头布。
孙权刚杀了关羽，占了荆州，迎面而来的是刘备的复仇大军，背后则是刚受禅的曹丕，虎视眈眈。
他面临一个选择：称臣，还是不称臣？
如果他不称臣，他将陷入两线作战：
西线打刘备，北线防曹丕。
曹丕的最优反应是南下趁火打劫，这是孙权最坏的结局。
但孙权递上降表，曹丕就得重新决策了。
曹丕刚篡位不久，接受孙权称臣有助于坐实「天下归心」的政治合法性，这个无形资产的价值，可能超过了仓促南下的军事收益。
所以孙权称臣后，曹丕的最优反应从南下滑向了按兵不动：封孙权为吴王，坐看孙刘互耗。
在这个状态下，曹丕没有动机单方面改变策略：南下摘桃子的收益，被背盟成本、军事风险和合法性收益重新加权后，不如按兵不动划算。
孙权也没有动机单方面改变策略：不称臣就意味着两线作战。
这就是纳什均衡：孙权的最优反应是称臣，曹丕的最优反应是按兵不动。谁先偏离，谁就输。
张三可能会说：这算哪门子最优？孙权丢了面子，曹丕也没能开疆拓土。
没错。纳什均衡不保证是全局最优解，它只保证：在这个点上，没有人有动机单独离开。
就像囚徒困境里的两个囚徒都选择招供：不是最好的结局，但谁都不敢不说话。
称臣是孙权的最优反应。
接受称臣并按兵不动，是曹丕的最优反应。
两个最优反应互相锁定，就是纳什均衡。
本文是我正在写的《三国经济学》的第35篇：
大魏吴王！纳什《Equilibrium Points in N-person Games》！
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