理解四维空间和把大象放进冰箱一样简单。
第一步，理解四维超立方体（正八胞体）。
第二步，理解四维球和三维庞加莱猜想。
第三步，理解正八胞体的旋转，类比球面旋转。
边长为 的正八胞体，表体积是 ，为了围出一个体积为 的封闭区域，4个方向上都要放置两个没有厚度的立方体作为边界。为了区分边界和内部，取边长为 3，它由81个小八胞体构成，每个体积为1，然后用8种不同颜色对其上色。下面借助 Python 脚本，辅以理解。
类比三维魔方，每个超立方体的颜色都是唯一的。
也可以通过统计颜料的用量，验证表体积
共有16个顶点，32条棱，24个面，8个体
正八胞体的表面可以在三维空间中平坦地展开，可用无向图表示它们的连接关系。下图是一种可能的展开方式，节点表示立方体，实线表示展开后仍然相连，虚线表示是相对的两个边界。类比三维骰子为每个节点编号，同方向相对的两端编号和为 9。
用近大远小的透视法把第四个维度投影到三维空间里，四维空间有四个方向，因此每个顶点会伸展出4个相互垂直的棱边。
为了便于理解，先举个三维球的例子，它的二维球面的局部是一个二维流形，有两个相互正交的方向（经纬线），法线指向球心。单连通的有限封闭二维流形同胚于二维球面，用立方体的表面类比，表面可以分割成6个区域。每个区域内部是完全平坦的，而在穿越区域时，前进方向发生了 的旋转。球面的曲率是均匀的，延展开来的球面需要保持弯曲，才能让各自的法线相交于一点，因此球面上任何微小运动，都在绕球心做旋转。
四维球表面是一个三维空间，同样各法线相交于球心。根据三维庞加莱猜想，如果三维空间体积有限没有边界，并且是单连通的，那么就同胚于三维球面 。如果我们的宇宙是个理想的三维球面，那么空间中的任意一条直线都是球面上的圆弧，行走一周会回到原处，就好像在正八胞体的表面中转了一圈。
四维空间有两个相互垂直的平面，无论平面 A 做了什么运动，到平面 B 的距离都不变，因此四维可以绕平面旋转，这种旋转叫做单旋转。下图是一个正八胞体单旋转的动画，透视投影在三维空间，第四个维度近大远小，3号和6号立方体绕竖直轴旋转，2号和7号立方体绕水平轴旋轴，两旋转轴垂直，张成了一个平面。每转 ，正八胞体的位姿就和初始状态重合一次，（1，4，8，5）号立方体旋转后构成置换群。
让另一个平面内的点也旋转起来后，就构成了四维双旋转
另一个回答从代数角度解释了四维旋转：
在四维或更高维的空间中，该如何定义转动？
最后，玩一把四维三阶魔方，加强对四维空间以及各种旋转的理解。【四维魔方】四维3阶超立方体魔方的简单复原教程
