一句话先回答问题：因为斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用。
下面我就尽我所能，讲述一下斐波那契数列。
一、起源和定义
斐波那契数列最早被提出是印度数学家Gopala，他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。也就是这个问题：
而最早研究这个数列的当然就是
（Leonardo Fibonacci）了，他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目：
这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》（没有维基词条，坑），后来就被广泛的应用于各种场合了。这个数列是这么定义的：
序号为
（注意，并非满足第三条的都是斐波那契数列，
（
）也满足这一特点，但初始项定义不同）
二、求解方法
讲完了定义，再来说一说如何求对应的项。斐波那契数列是编程书中讲递归必提的，因为它是按照递归定义的。所以我们就从递归开始讲起。
1.递归求解
这是编程最方便的解法，当然，也是效率最低的解法，原因是会出现大量的重复计算。为了避免这种情况，可以采用递推的方式。
2.递推求解
递推的方法可以在O(n)的时间内求出Fib(n)的值。但是这实际还是不够好，因为当n很大时这个算法还是无能为力的。接下来就要来讲一个有意思的东西：矩阵。
3.矩阵递推关系
学过代数的人可以看出，下面这个式子是成立的：
不停地利用这个式子迭代右边的列向量，会得到下面的式子：
这样，问题就转化为如何计算这个矩阵的n次方了，可以采用快速幂的方法。
是利用结合律快速计算幂次的方法。比如我要计算
，我们知道
，而
可以通过
来计算，
而可以通过
计算，以此类推。通过这种方法，可以在O（lbn）的时间里计算出一个数的n次幂。快速幂的代码如下：
将上述代码中的整型变量a变成矩阵，数的乘法变成矩阵乘法，就是矩阵快速幂了。比如用矩阵快速幂计算斐波那契数列：
4.通项公式
无论如何，对于一个数列，我们都是希望可以建立
与n的关系，也就是通项公式，而用不同方法去求解通项公式也是很有意思的。
（1）构造等比数列
设
,
化简得
,
比较系数得
，
解得
，
由于
故有
，设
.则有
,设
,
解得
，即{
}是等比数列。这样就有
到了现在，把上述解出的结果全部带入上式，稍作变形，我们就可以写出斐波那契数列的通项公式了
这个方法还是比较麻烦的，但是非常基础。事实上还有其他更简单的方法。
（2）线性代数解法
这个解法首先用到
公式，如果可以找到矩阵
使得
为对角阵，我们就可以求出通项。下面需要一些高等代数知识，没学过的可直接跳过。
首先令
,解得两个特征根
两个特征向量为
则
而
解出
,中间矩阵的n次方可以直接求出来：
然后可以轻易得到通项公式，上边已经给出，这里不再赘述。
（3）特征方程解法
通过方法（2），我们可以推导出一般的线性递推数列的通项求解方法，也就是特征方程法。我们可以发现，对于这种数列，通项总是可以表示为
的形式，因此可以直接利用已知项求解
，
。具体做法如下：
a.由递推数列构造特征方程
，解出两个特征值
。
b.带入
,列出如下方程：
解得
这样直接写出通项公式，是比较简单的做法。
（4）母函数法（此方法涉及组合数学知识）
设斐波那契数列的母函数为
,即
解得
再由幂级数展开公式
……
合并同类项并与
的系数比较即可。
到这里，求解斐波那契数列通项的方法就说的差不多了。无论是计算机求解还是数学推导，都体现出了非常多的技巧。而斐波那契数列的许多特性，就更加有意思了。
三、斐波那契数列的数学性质
1.与黄金比的关系
由通项公式，求相邻两项的商的极限，结果是黄金比，所以斐波那契数列又称为黄金比数列。斐波那契数列和黄金比还和一个有趣的数学概念——连分数有关：
2.一些简单的规律
（1）任意连续四个斐波那契数，可以构造出一个毕达哥拉斯三元组。如取1,1,2,3.
中间两数相乘再乘2 ==》 4
外层2数乘积==》3
中间两数平方和==》5
得到3,4,5.
下一组是5,12,13,，有兴趣的读者可以再试着推一推，证明也是容易的。
（2）整除性
每3个连续的斐波那契数有且只有一个被2整除，
每4个连续的斐波那契数有且只有一个被3整除，
每5个连续的斐波那契数有且只有一个被5整除，
每6个连续的斐波那契数有且只有一个被8整除，
每7个连续的斐波那契数有且只有一个被13整除，
…………
每n个连续的斐波那契数有且只有一个被整除.
（3）一些恒等式
3.杨辉三角中的斐波那契数列
如图所示，每条斜线上的数的和就构成斐波那契数列。
即有
4.相关数列：卢卡斯（Lucas）数列
卢卡斯数列的定义除了第0项为2之外，与斐波那契数列完全一致。即
其通项公式为：
卢卡斯数列和斐波那契数列有这些关系：
5.组合数学
（1）一些恒等式
（2）同余特性
当p为大于5的素数时，有：
其中
斐波那契数列还有许许多多的性质，我就不再一一介绍了。跑题了这么久，终于开始要真正回答问题了：斐波那契数列有什么用？
四、斐波那契数列的应用
1.算法
a.斐波那契堆
斐波那契堆(Fibonacci heap)是计算机科学中最小堆有序树的集合。它和二项式堆有类似的性质，可用于实现合并优先队列。特点是不涉及删除元素的操作有O(1)的平摊时间，用途包括稠密图每次Decrease－key只要O(1)的平摊时间，和二项堆的O(lgn)相比是巨大的改进。
斐波那契堆由一组最小堆构成，这些最小堆是有根的无序树。可以进行插入、查找、合并和删除等操作
1）插入：创建一个仅包含一个节点的新的斐波纳契堆，然后执行堆合并
2）查找：由于用一个指针指向了具有最小值的根节点，因此查找最小的节点是平凡的操作。
3）合并：简单合并两个斐波纳契堆的根表。即把两个斐波纳契堆的所有树的根首尾衔接并置。
4）删除（释放）最小节点
分为三步：
如果当前节点键值小于其父节点的键值，则把该节点及其子树摘下来作为堆的新树的根节点；其原父节点如果是被标记（marked）节点，则也被摘下来作为堆的新树的根节点；如果其原父节点不是被标记（marked）节点且不是根节点，则其原父节点被加标记。
如果堆的新树的根节点被标记（marked），则去除该标记。
6）删除节点：把被删除节点的键值调整为负无穷小，然后执行“降低一个节点的键值”算法，然后再执行“删除最小节点”算法。
斐波那契堆
b.欧几里得算法的时间复杂度
欧几里得算法是求解两个正整数最大公约数的算法，又称辗转相除法。代码如下：
在最坏的情况下，我们可以证明，若a较小，需要计算的次数为n，则
.虽然说一般分析的时候会当成对数阶，但数论最常用的欧几里得算法竟然与斐波那契数列有关，也确实是很让人吃惊呢。
2.物理学：氢原子能级问题
假定我们现在有一些氢气原子，一个电子最初所处的位置是最低的能级（Ground lever of energy），属于稳定状态。它能获得一个能量子或二个能量子（Quanta of energy）而使它上升到第一能级或者第二能级。但是在第一级的电子如失掉一个能量子就会下降到最低能级，它如获得一个能量子就会上升到第二级来。
现在研究气体吸收和放出能量的情形，假定最初电子是处在稳定状态即零能级，然后让它吸收能量，这电子可以跳到第1能级或第2能级。然后再让这气体放射能量，这时电子在1级能级的就要下降到0能级，而在第2能级的可能下降到0能级或者第1能级的位置去。
电子所处的状态可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…种。这是斐波那契数列的一部份。
3.自然界：植物的生长
科学家发现，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。例如：蓟，它们的头部几乎呈球状。在下图中，你可以看到两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。此外还有菊花、向日葵、松果、菠萝等都是按这种方式生长的。
还有菠萝、松子等，也都符合这个特点，一般会出现34,55，89和144这几个数字。
最后上一张“斐波那契树”的图片：
是的，这玩意就长这样，这种植物是存在的。
4.波浪理论与股市
这个答主不懂，大家可自行阅读文章
。
不过波浪的形状确实符合下边要说的斐波那契螺旋：
5.斐波那契螺旋
斐波那契螺旋又称黄金螺旋，在自然界中广泛存在。如图是一个边长为斐波那契数列的正方形组成的矩形。
（加一句：看着这个图，是不是能发现
是显而易见的？）
这样连起来就是斐波那契螺旋了
贝壳螺旋轮廓线
向日葵的生长
神奇的花
6.建筑学
7.据说一个小男孩参考斐波那契数列发明了太阳能电池树：
8.斐波那契螺旋形的摇椅
当Sophie宣布自己怀孕时，她说想要一把摇椅，但发现没有一把摇椅能满足美观舒适的标准，于是Patrick决定自己做一把。
于是就有了这把妈妈摇椅。像是一个飘在空中的丝带，由一片纤维玻璃做成，曲线服从斐波那契数列分布，经过特殊的高光聚氨酯处理。
五、数学上的扩展
（1）广义斐波那契数列
定义：
,数列
满足：
其通项为：
当
时即为斐波那契数列。
（2）反斐波那契数列
定义：
反斐波那契数列相邻项比值的极限为
。
（3）巴都万数列(
)
斐波那契数列可以刻画矩形，而巴都万数列则刻画的是三角形。其定义如下：
(4)未解之谜：角谷猜想
对一个正整数，若为奇数则乘3加1，若为偶数则除以2，通过有限次这样的操作，能否使得该数变成1？
这个猜想和斐波那契数列又很大关系，具体的可以看
。
六、总结
斐波那契数列是各个学科中都出现的小滑头，它许多漂亮的性质让我们着迷。上文我所描述的这些只是它的冰山一角，权当抛砖引玉。大家读完了我的答案，还可以再结合自己的专业去看一些相关的资料，更好的去了解这个有趣的数列。
七、参考文献
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