modern treatment： A single-valued relation is called a function
解释：一个单值关系被称作一个函数
什么是 “relation"？
先介绍 Cartesian product: Suppose X,Y are both sets. The Cartesian product of X and Y is the set of all ordered pairs
A relation is any set of ordered pairs.
什么是"single-valued relation"
a relation is single-valued if imply .
以上应该就是函数最 rigorous的定义了.
我看题主才大一，想看懂上面的抽象的定义肯定很难。略作解释
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我们可以认为两个集合之间的笛卡尔积（ Cartesian product）就是这两个集合元素之间关系的全体。
举个列子吧：设 X 为人的集合，Y为正整数的集合 他们之间的笛卡尔积 是这样的元素的集合：
（张三，18）(李四，30）(张三，20）···
这样的笛卡尔积就能描述一个人的年龄，是不？
函数是什么？：
比如取出X中的三个人 ，张三，李四，王五。我们定义一个函数描述他们的年龄 。一个人只能有一个年龄，所以我们可以用 (张三,a),(李四,b),(王五,c)来完全确定的性质，这不就是一个single-valued relation ？
如上，好好体会一下吧。还是挺简单的
