谢邀，本题是可以用初等方法解的
事实上，2003年东京大学高考考过这道题的，不过考试时间一道题只有25分钟，所以只要求到3.05
原题翻译：试证明，圆周率大于3.05（问1）
按照知乎中的本问题引申：试证明，圆周率大于3.14（问2）
积分做法也可以做，具体参见请证明3.141<π<3.142：放缩到这么小的范围——大阪大学2013年高考附加题第二题（纯理科）
这里我们换一个思路考虑圆的几何定义，也就是割圆术来找到圆周率的范围。
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对于问1来说，正十二边形已经足够
我们截取其中的一个小三角形
弧 的长度是 ，内侧的弦 的长度的话，根据余弦定理是
所以有
我们知道
所以
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对于问2来说
显然十二边形不够我们计算到3.14。
我们知道如果割到 边形，根据第一问的算法
有
也就是
我们的目标是 ，所以我们的目标是找到一个 使得
也就是证明
由于在笔算的时候，计算方便的只有半角公式。（笔算开方即可，日本教材内会讲，国内要不要求就不知道了）
开 2 次方可以手算，但开 n(n>2，n∈Z) 次方有手算的方法吗？
所以考虑内接正 边形。
根据半角公式，
由于 ，所以
同理 ，同理
所以
也就是 ，又根据
所以 ，所以 得证
总共需要手算开平方三次……不过至少是能够笔算的……细心一点的话
更新：2018.1.12
补一个另外的积分做法
所以
得证
