从一个更基础的角度来理解不动点这个概念
从最简单的数学开始。比如 解这个方程,得到 。这个 3 有什么特别之处吗?它使得等式左右两边相等。我们可以把这个等式看成是一个函数 ,然后我们在找什么呢?我们在找一个数,使得 。再进一步,如果想找的是使得 的 呢?这就是我们所说的不动点。对于函数 ,很明显没有这样的点,因为对任何 ,加 2 之后都不会等于它自己。但是,如果我们考虑函数 呢?我们可以解方程 ,得到 。这个 2 就是函数 的不动点,因为 。
这个概念可以推广到更复杂的函数和更高维的空间。比如,我们可以考虑平面上的点 和二元函数 。这个函数的不动点是什么呢?就是满足 的点,也就是直线 上的所有点。
现在,我们来思考一个更深刻的问题:给定一个函数,它是否一定有不动点呢?答案是否定的。我们之前看到,函数 就没有不动点。那么,在什么条件下,一个函数会有不动点呢?
这就引出了我们今天要讨论的第一个重要定理:压缩映射原理。这个定理说的是,如果一个函数把距离缩小了,那么它一定有不动点。具体来说,如果我们有一个完备的度量空间 ,和一个映射 ,满足对于某个 和所有的 ,都有:
那么 一定有唯一的不动点。
这个定理看起来有点抽象,但它的直观意义是很清楚的。想象一下,如果每次应用这个函数,点与点之间的距离都变小了,那么最后这些点会聚集到哪里去呢?就是不动点。
这个定理有很多实际应用。比如,在解微分方程时,我们经常用到这个定理。考虑一个初值问题:
我们可以把这个问题转化为一个积分方程:
然后定义一个算子 :
如果我们能够证明这个 是一个压缩映射,那么就可以应用压缩映射原理,得到方程的解。这就是著名的 Picard 迭代法。
但是,压缩映射原理并不能解决所有的问题。它给出了函数存在不动点的一个充分条件。但是,这个条件在很多情况下是过于严格的。比如,我们考虑单位圆上的旋转映射,它显然不是压缩的,但直觉告诉我们它应该有不动点。这就引出了我们需要更一般的定理。有时候,我们的函数可能不是压缩的,但我们仍然想知道它是否有不动点。这就引出了更深刻的定理,比如 Brouwer 不动点定理。
Brouwer不动点定理正是在这样的背景下提出的。它告诉我们,在有限维的情况下,只要映射是连续的,并且把一个凸紧集映到自身,就一定存在不动点。这个定理的力量远远超过了压缩映射原理,因为它不需要映射有任何收缩性质。
Brouwer定理的证明是非常深刻的,涉及到代数拓扑中的重要概念,如同伦和度。一个常见的证明方法是使用反证法,假设不存在不动点,然后构造一个从球面到球面的连续映射,这个映射在同伦意义下等价于恒等映射,但又可以连续形变到一个常值映射。这导致了矛盾,因为球面的同伦群是非平凡的。
这个定理的一个直观解释是,无论你如何连续地扭曲或拉伸一个圆盘,总有一个点会回到它原来的位置。这个解释可以推广到高维情况,虽然我们难以直观想象高维空间,但数学告诉我们这个性质依然成立。
Brouwer定理的应用是广泛的。比如证明纳什均衡的存在性,研究向量场的性质,证明某些算法的收敛性。但是它只适用于有限维空间,而在实际应用中经常需要处理无限维空间。在研究偏微分方程时,解通常是某个函数空间中的元素,这些空间往往是无限维的。这就引出了Brouwer定理的一个重要推广：Schauder不动点定理。
Schauder定理将Brouwer定理推广到了无限维的情况。它说的是,在一个Banach空间（完备的赋范线性空间）中,如果一个连续映射把一个凸紧集映到自身,那么这个映射就有不动点。这个定理的证明思路是先在有限维子空间上应用Brouwer定理,然后通过极限过程得到整个空间上的结果。Schauder定理它可以用来证明某些类型的偏微分方程解的存在性。在这种应用中,我们通常将方程转化为一个积分方程,然后证明相应的积分算子满足Schauder定理的条件。但是,Schauder定理仍然要求集合是紧的,这在无限维空间中是一个很强的条件。为了处理更一般的情况,数学家们发展了更多的不动点定理。
其中一个重要的结果是Kakutani不动点定理,它将Brouwer定理推广到了多值映射的情况。Kakutani定理说的是,如果一个多值映射满足某些条件（例如,映射值是非空闭凸集,且满足上半连续性）,那么它就有不动点。这个定理在博弈论中有重要应用,可以用来证明更一般的纳什均衡存在性。
另一个重要的推广是Lefschetz-Hopf不动点定理。这个定理将不动点的存在性与映射的拓扑性质联系起来。具体来说,它引入了Lefschetz数这个概念,如果Lefschetz数不为零,那么映射就有不动点。这个定理的强大之处在于,它可以用来研究映射的周期点,这在动力系统理论中有重要应用。
除此之外不动点理论还有各个方面的发展,Markov-Kakutani定理说的是,在局部凸空间中,如果一族交换的连续仿射映射把一个紧凸集映到自身,那么这族映射有公共的不动点。这个定理可以用来证明Haar测度的存在性,从而在调和分析中发挥重要作用。Lomonosov定理告诉我们,在Banach空间中,任何非平凡的紧算子都有非平凡的不变子空间在度量空间中,人们研究了各种弱于压缩条件的映射的不动点性质。在序理论中,人们研究了保序映射的不动点。在模糊数学中,人们研究了模糊映射的不动点。
