彻底消除了其它答主所依赖的"用多项式去模拟其它函数"这个没来由的动机.
一切起源于对运动物体的位置做估算:
已知物体的初始位置 和实时速度 , 求 时刻物体的位置;
精确算法是做积分:
更快的算法是用平均速度:
中值定理告诉我们, 运动过程中一定存在某时刻的速度恰好等于全过程的平均速度:
所以如果不需要太精确, 平均速度可以用中间时刻的速度来大概近似;
如果还不需要太精确, 只需要快速知道一个范围, 可以用速度的上下限做估计:
一般的运动, 速度变化是连续的, 即使我们不知道具体的最值, 但是一定可以断言最值的存在:
又因为速度变化是连续的, 故 之间必然存在一个时刻与中间式相等:
这次我们没有用中值定理, 也得到了和中值定理相同的结论;
重点来了, 如果不知道实时速度怎么办?
思路很简单,我们可以先用加速度的上下限来估计出速度的上下限:
再继续用速度的上下限来估计出位置的上下限即可:
但是这次要注意, 加速度有上限时, 会限制速度曲线的斜率;
速度曲线在最大斜率的限制下, 最多只能形成三角形或梯形, 不再是矩形;
如果直接用速度的最值乘以时间, 估计出的上下限会过于宽范, 导致式②缺乏指导意义;
位置的计算不应再是简单的底×高, 而是 (上底+下底)×高÷2:
其实本质就是做定积分, 不等式①三边直接积分, 结果更简洁:
照之前的方法, 用介质定理改写成等式:
用数学惯用符号改写并整理:
至此我们已经得得到一阶泰勒公式, 甚至天然带着拉格朗日余项;
余项系数的含义也从一开始就十分清晰, 就是加速度(或者说二阶导数)的上下限估计;
更高阶的公式推导也如出一辙:
大功告成!
据说泰勒有一天无聊玩 GeoGebra 的时候，在输入框里输了：
然后无聊的拨弄着滑动条来随意改变这些个A值。
屏幕上函数图像不断变化着，但那线条总是歪七八扭，不听使唤。他认真了起来，扩大了A值的范围和精度，逐渐找到规律之后，他已经能够调出 剑尖，牙齿，猫耳 等图像。
他不断增加项数，调整参数，他发现增加的项数越多，他就越能掌控图像的变化。他像扭铁丝似的上下弯折着曲线，无意中调出了一段波浪形的图像，看着似乎挺眼熟……
——这不是 sin 函数吗！
他抑制不住自己的兴奋，赶紧输入了标准的 sin 函数进行对比，同时继续调整多项式，使这个山寨函数尽可能地贴近正品。
他仔细端详着，单看眼前这一段，简直可以以假乱真，不过越到后面，分歧也就越明显了。
他猛然意识到："我能够控制多项式画出任意图像！甚至把它伪装成其他函数！"
但是他很快冷静了下来，问了自己一连串的问题：
摆在眼前的具体问题就是，能否"伪装"出一个完美的 sin 函数？
他决定一探究竟。
可是，每求导一次，多项式就会降一阶。求到 n 阶导不就变成常数了吗？再导不就归零了吗！
而 sin(x) 可以无穷阶求导，所以无论 n 有多大，都不可能完美伪装出 sin 函数。
除非…… n 为无穷大？
这就引出了下面的问题：这样的伪装可以到达何种程度？
☆ 挑战读者：
故事发展至此，事件的线索已经全部给出，真相已经呼之欲出了！请诸君充分动用自己的聪明才智，解开这个谜团，揭开凶手(泰勒公式)的真面目吧! ——埃勒里·泰勒·奎因
看着图像的变化，他不禁把那个起点当成了运动的质点，斜率即质点的速度……他忍不住做起了一个思想实验：
这一刻，他仿佛触摸到了力量，触摸到了真理，触摸到了前所未有的自由！
他大吼一声：“泰勒展开！”，写下了"那个公式"：
写罢，他对世界呼喊道：“这，就是我的初始条件！”
那一瞬间，后世所有数学系学生的苦逼命运已经全然决定，只能沿着他所设定的路线挣扎前行，沉沦其中，无法挣脱。
正当泰勒沉溺于力量之中时，他不知道，一个叫做傅里叶的人即将在圆周运动之中窥探到更深层的秘密，解开另一道更为强大的封印！这股新力量的出现到底是会终结泰勒的诅咒呢？还是会将诅咒变得更为凶残……
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