上面这个周期公式的形式最早应于1659年前被荷兰物理学家惠更斯发现，后被整理在他1673年出版的关于钟摆的专著中。惠更斯是前微积分时代的学者，关于钟摆运动的论述是使用几何学语言描述的，因此我并不认为惠更斯对式中 有一般情况下的描述，但对于小角度摆动，惠更斯应该是清楚该项的值近似为 。而且这个值是惠更斯通过理论推导出来的，毕竟在当时实验的条件落后，伽利略摸着脉搏测落体的下落时间，惠更斯虽然在伽利略之后，但测量时间的工具比之也好不了多少。因此通过实验的办法拟合经验公式对惠更斯来说不太可能。事实上当时对重力加速度 的值都没有一个好的估算。1657年，惠更斯利用单摆等时原理（摆角很小时），制作了第一个摆钟，从此测量时间更精确，计时的单位才开始以时分秒来计算。1659年，惠更斯在巴黎悬挂了一个摆，通过上式才估算出 的值大约在 左右。
如图所示， 质点 被长度为 的轻绳（绳的质量小到忽略不计）悬挂，在平面内摆动。
这样的模型被称之为数学摆。
我们将使用牛顿力学给出数学摆的周期。
如上图所示，选取固连在摆球上的自然坐标系。
方向为沿着摆线向上的方向， 方向 为垂直于摆线向右的方向。
摆从图示位置开始摆动，设初始位置的摆角为 ，
摆角 由大变小。
当摆线摆到与铅锤线重合时， .
当摆线摆过铅垂线时， ，直至 ，
这整个过程为半个周期 ，
而我们就研究摆在这段时间上的运动。
根据牛顿力学的说法，摆球只受到两个力的作用，绳子的张力 和重力 ,
鉴于牛顿第二定律可以得出，
考虑自然坐标系，这些矢量可以被表示为，
也即，
注意到这个运动微分方程组的第一个方程只包含一个未知函数
而第二个方程包含未知的 和 ，
因此如果只想求出摆动周期，只需关注上面一个式子就可以了，整理可得，
可以预见，如果能够求出 或其反函数 ，那么运动时间就很容易算出。
其实如果 ，即摆角很小时，可以做近似 ，
于是得到方程 ，这个方程就很好看了，这是一个很常见的描述谐振的方程。
如果你不是初学者，它的通解几乎不用考虑就能写出，
，其中 和 是待定参数，根据初始条件确定。
根据辅助角公式，它也可以写成，
， 是辅助角
对于 形式的运动，
周期呼之欲出，
如果摆角很大，例如 ，那么不能做上述的近似，对于方程 ，即
可以发现它不显含 ，
因此考虑做这样的代换 来降阶，
于是 ，于是原方程被转换成了关于 和 之间关系的方程，即
，它显然可以分离变量，于是
，积分一次可得
为待定常数，根据初始条件，当 时，角速度 ，即
，
于是 ，
所以式 其实是
注意上式没有取算数平方根，而是取了算数平方根的相反数，这是因为摆角 在这一过程中始终单调递减，因此它的导函数应当非正。
移项，得到微分
，直接带上始末条件再定积分一次，可以求得半周期
，积分上下限交换，再根据偶函数对称性，可得
注意到这个积分式的求解是困难的，
尝试先算两种简单的情形，分别是小摆角 和大摆角
考虑 很小趋近于0，这时有近似 ，
因此，
结果并不意外，回到了我们开头所说的小摆角谐振的情况。
如果考虑 ，那么 ，则式 中的积分则能写成更简单的形式，
其中的 为Beta函数，熟悉特殊函数的读者进一步能够发现，
，其中 为第一类完全椭圆积分。
这提示我们式 中的积分不能被初等函数表示，且很有可能是个椭圆积分。
事实上，积分 的确可以化成第一类完全椭圆积分，如果读者并不清楚特殊函数，可以不用管它，我们对积分的考究现在集中于是否能够找出一种级数解。
可能读者会想到将含参 视作变量来做泰勒展开，即函数 的泰勒展开，
只要求得 就可以确定泰勒多项式每项前的系数。
但这里有一个很突出的问题。这个积分不仅含参，而且变限，这会给求导带来极大的困难。
因此我们考虑是否可以做一些变换，使得 能写成一个只含参，但不变限的积分。
由升幂公式 ，可得
考虑代换 ，并记 ，可以得到
，
新的积分上限为
因此，
记
则式 可以写作
对于 的级数展开要比原先那个积分容易许多，
我们知道
则，
那么，
又有定积分公式
因此，
所以，
这样我们就给出了周期的一个级数解，
我们从上式可以发现当摆角 越大，摆动一次所耗时间也越长。
