可以把泛函分析（Functional Analysis）先总结成一句话：
这个定义非常关键。线性代数研究有限维向量，微积分研究极限；泛函分析把两者合起来，研究函数组成的无限维空间，以及这些空间上的线性变换。
在线性代数里，我们研究向量：
然后研究矩阵：
矩阵 本质上是一个线性算子：
于是线性代数的基本世界是：
接下来问一个很自然的问题：
向量一定只能是有限个数字吗？
不一定。
比如一个无限序列
也很像向量。
甚至一个函数
也可以看成一个“拥有无限多个坐标的向量”。
这是进入泛函分析最重要的一步。
比如我们研究区间 上的函数：
有限维向量是
而函数可以粗略理解成
如果把采样间隔无限缩小，就变成连续函数。
所以可以产生一种非常深刻的观点：
例如傅里叶级数：
这尤其明显。
原来的函数 ，可以由无限多个系数
描述。
于是函数真的像一个无限维向量。
傅里叶分析背后已经隐隐约约站着泛函分析了。
既然函数可以当向量，就可以把一堆函数组成一个向量空间。
例如：
表示 上所有连续函数。
如果
那么
而且
所以它确实是一个向量空间。
问题出现了。
普通的
我们很熟。
但
是一个怎样的空间？
它是多少维？
无限维。
于是泛函分析首先面对的对象就是：
这里开始出现真正的问题。
假设有一列函数：
我们想问：
是什么意思？
对于普通实数，
我们知道是什么意思：
对于向量：
可以用长度：
于是函数之间也需要定义一种“距离”。
这就引出了泛函分析里的第一个核心概念：
比如函数
可以定义：
这叫一致范数或者最大范数。
它表示：
也可以定义：
这又是一种长度。
于是同一个函数，可以采用不同的“长度定义”。
这是无限维空间比普通欧氏空间复杂很多的地方。
例如两个函数
之间的距离就可以定义成：
这样，函数空间终于拥有了“几何结构”。
我们可以谈：
因为它可以定义为
因为数学分析里到处都是：
比如傅里叶级数：
偏微分方程也经常得到：
问题是：
这个无限求和真的得到一个函数吗？
更麻烦的是：
“收敛”还有很多种。
可能是逐点收敛：
也可能是一致收敛：
还可能是均方收敛：
它们不是一回事。
于是泛函分析其实是在建立一套语言，让我们能够严格回答：
举个有限维空间里的例子。
考虑有理数：
它们都是有理数，但极限是
却不是有理数。
也就是说：
可以越来越接近某个东西，但那个东西却跑到空间外面去了。
这就很麻烦。
因此我们希望空间满足：
这叫做：
于是：
完备的赋范线性空间叫 Banach 空间。
这是泛函分析里的第一个超级主角。
例如：
配上
就是 Banach 空间。
普通欧氏空间里我们还有内积：
利用内积可以定义：
还可以定义正交：
那么函数之间能不能也定义“内积”？
当然可以。
比如：
于是
这样，函数之间居然也可以谈：
这就非常漂亮了。
例如：
在适当区间上是正交的。
傅里叶级数因此可以理解成：
这已经不是比喻，而是真的和三维空间投影完全同构。
如果一个空间：
有内积，而且完备，
就叫：
所以可以粗略理解：
是有限维 Hilbert 空间；
而
是无限维 Hilbert 空间。
这也是为什么量子力学大量使用 Hilbert 空间。
因为量子态
本质上就是 Hilbert 空间里的一个“向量”。
于是量子力学里你经常看到：
这其实就是无限维线性代数。
它想做一件非常大胆的事情：
有限维里有：
无限维里变成：
有限维里有：
无限维里变成：
有限维里有：
无限维里则可能是：
这里的 可以是微分算子：
或者
也可以是积分算子：
于是我们终于进入泛函分析真正研究的核心对象：
矩阵：
输入一个向量，输出一个向量。
而微分：
输入一个函数，输出另一个函数。
积分：
也是输入函数、输出函数。
所以：
是泛函分析里极其重要的推广。
甚至可以说：
有限维线性代数：
那么无限维里：
一样可以研究。
例如：
配上边界条件：
解出来：
对应：
你看，这其实就是一个无限维的特征值问题。
所以很多微分方程、振动问题、量子力学问题，本质上都是：
只不过 不再是一张矩阵，而是一个微分算子。
在线性代数里，一个对称矩阵可以找到一组正交特征向量：
于是任意向量可以展开：
无限维版本就是：
例如：
所以傅里叶级数可以看成：
这一下傅里叶级数的地位就完全不同了。
它不再只是一个“神奇展开公式”。
它就是无限维线性代数里的：
这里非常容易混乱。
一个普通函数：
输入数字，输出数字。
而“泛函”：
输入的是函数，输出的是数字。
例如：
你给它一个函数
它吐出一个数字。
这就是泛函。
再比如：
也是泛函。
因为：
特别是线性泛函：
在泛函分析里面极其重要。
因为它相当于普通线性代数中的“行向量”。
例如：
拿一个行向量：
作用：
最后得到一个数字。
因此：
本质就是：
的线性泛函。
到了函数空间里，相应的东西就是：
所有连续线性泛函构成的空间叫：
也就是：
Dual Space。
这是泛函分析又一个大主角。
泛函分析主要研究这样一串问题：
最后这一条其实特别关键。
因为大量数学物理问题最终都可以写成：
例如微分方程：
配边界条件：
传统方法可能试图直接求 。
泛函分析换一个视角：
把
看成一个算子。
于是问题变成：
然后问：
存在吗？
也就是：
如果存在，唯一吗？
如果 稍微变化：
那么解会不会突然天翻地覆？
也就是研究：
到底大不大。
你会发现，这和线性代数里面研究：
几乎一模一样。
只是从：
矩阵问题，推广成了无限维问题。
因为无限维世界跟有限维世界相比，有很多直觉突然失效。
例如在有限维空间里：
闭且有界通常意味着紧。
但在无限维 Banach 空间里，这一般不成立。
有限维线性映射天然连续；无限维里：
并不自动意味着
有限维里很多事情“想当然成立”，到了无限维全坏了。
所以泛函分析要建立一些极其强大的定理，确保无限维中仍然能够工作。
最经典的几座大山就是：
再往后就是算子谱理论、Riesz 表示定理等等。
刚学时这些定理会觉得特别抽象。
其实它们都在解决一个根本问题：
这样理解就舒服很多。
例如一个连续时间信号：
本身就是函数空间里的元素。
系统：
可以看成一个算子：
卷积：
实际上就是一个积分算子。
写成：
傅里叶变换：
同样是一个算子。
甚至大家熟悉的：
本质就是 Hilbert 空间 的范数。
Parseval 定理：
更可以理解成：
也就是说傅里叶变换本质上类似于无限维空间中的酉变换。
所以信号与系统学到深处，实际上已经站到泛函分析门口了。
这个名字容易让人误解成：
其实不是这么简单。
历史上它的重要研究对象包括：
和作用于函数上的
但今天的泛函分析已经发展成：
所以从现代观点看，把它理解为：
是非常准确的。
可以把整个泛函分析的逻辑记成：
一旦建立这个对应关系，泛函分析就不再是一门莫名其妙冒出来的数学。
它其实是非常自然的一步：
然后问：
这就是泛函分析真正研究的问题。
