图像的傅里叶变换通常为复数的。
用下面的一个例子能简单的说明一下原因。
它里边包含有频谱信息和相位信息，对应于复数的模和幅角。
频谱: 决定图像中形状和轮廓的描述。也能描述灰度的信息情况。
相角: 决定图像中形状的位置描述。
举个简单例子:
上面左右两个图，里边都只有一个相同大小的矩形，只是左侧矩形居中，右侧偏移到右上角。
这两个图它们的频谱相同，因为它们两个图像中的形状完全相同。
但是这两个图的相位图不同，因为两个图像中形状的位置不同。这就解释了频谱和相角的直观区别。
另外，频谱和相位共同决定图像的整体外观。我们可参见4.6.5中的例子。
例4.13 矩形函数的频谱
图a): 矩形图像。
图b): 图a)的频谱图，值被标定到区间 ，用图像的形式展示。
上面的空间域和频率域的原点都在左上角。都是用的右手系。
注意:
原因我们在前面已经讨论过，主要是周期性。我们这里用了两个相邻的半周期组成的一个周期频谱，高频在前，低频在后。我们要让谱中心化，可以利用(4.76)公式，在计算DFT之前，我们用 乘以图a)中的图像即可。
图c): 就是谱中心化的图像，这里我们就很容易看到，谱是关于中心点对称的。由于直流项支配着谱值，因此所示图像中其他灰度的动态范围被压缩了。
为了给出这些细节，我们可以使用公式(3.4)定义的对数变换，取 。于是就得到图d)。
图d): 显示了 的曲线，此时，增加的细节很明显。
本章和后续章节中的频谱都按照这种方式标定。
由上面的两个公式，我们可以看到，谱对图像平移不敏感(因为指数项对绝对值为1)，但它的旋转角度与图像的旋转角度相同。
图a): 对应图4.23a)中矩形右移了一定的位置。
图b): 移动矩形后的频谱和原来保持一致。
结论: 如果两个图像不同，但谱图相同，那么它们的相角肯定不同，这个由(4.86)可知。图4.25中可以看到这点。
图c): 将4.23a)中的矩形旋转了45度，我们可以看到
图d): 对应的谱图像也对应旋转了45度。
图a),b)分别对应于图4.23a)和图4.24a)图像的DFT相角矩阵图。尽管两个图只是简单的平移，但是相角图像之间缺少相似性。一般来说，视觉分析相角图像得不到直观的信息。
例如，在图a)的45度方向上，我们可能会直观的认为它会对应于图4.24c)中旋转后的图像，而不对应于图4.23a)中的图像，这点是错误的，事实上，图4.25c)才是对应4.24c)旋转后的相角图，它由一个很强的方向，但是要远小于45度。
DFT谱的分量决定了组合为一幅图像的正弦波的幅度。在图像DFT的任何已知频率处，大幅度意味着在图像中的这一频率的正弦波较为突出；反之，小幅度意味着图像中钙频率的正弦波不突出。如图4.25所示，虽然相位分量的贡献很不直观，但它很重要。
相位是各个正弦分量关于原点的位移的测度。因此，二维DFT的幅度是一个阵列的同时，其分量决定了图像中的灰度，对应的相位时一个角度阵列，它携带了大量关于图像中可识别目标的位置信息。下面用详细例子来说明一下。
图a): 一个男孩图像。
图b): 图a)的DFT相角阵列 的图像，其中DFT是用公式(4.88)得到的。这个阵列中不存在引导我们通过视觉分析将其与对应图像的结构关联起来的细节，但是阵列中的信息对于确定图像的形状特征至关重要。
为了说明这一点，我们只用相角重建了男孩的图像。重建过程包括用公式(4.86)计算 的逆DFT，并且令 。图(c)显示了这个结果。当然产生的原图像的对比度远比我们显示的对比度要小，我们这里为了给出在这里讨论中的重要细节，首先利用公式(2.31),(2.32)对结果进行了标定，然后用直方图均衡化对其进行了增强。然而，即便结果得到了增强，仍然丢失了大部分灰度信息。记住一点，信息是由谱携带的，但在重建过程中，我们并未使用谱。
然而，图4.26c)中的形状特征明显来自图4.26(a)。这生动地说明了相角在确定图像形状特征时的重要性。
图d)通过计算式(4.86)的逆DFT得到的，但只用了谱。这意味着令指数项为1，而令指数项为1又意味着令相角为0。不出所料，结果中只含灰度信息，其中dc项是最主要的。图像中没有形状信息。因为我们已经令相位为0了。
最后，图e),f)再次表明了相位在确定图像空间特征方面的优势。
图e)是通过计算(4.86)的逆DFT得到的，计算过程中用的图4.23a)中矩形的频谱和男孩图像中的相角。男孩的特征明显的支配了结果。
图f)是用男孩图像的频谱和矩形的相角计算得到的，显然矩形支配了图4.26f)。
内容为数字图像处理第四章 频域滤波 4.6 二维DFT/IDFT的性质
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空间取样和对应频率域间隔的关系和前面4.4节中介绍的一致。假设对于连续函数 取样生成了一幅数字图像 , 它们分别在 方向取 个样本组成。设 分别表示样本间的间隔。于是，频率域对应的离散变量间的间隔分别为
和 注意: 频率域中的样本之间的间隔与空间样本之间的间隔及样本数量成反比，这是一个重要的性质。
由这个变换对 , 我们可以证明如下傅里叶变换对: 和
也就是说用指数 乘以 ， 那么傅里叶变换DFT的原点移动到点 ;
反过来，用负指数 乘以 将使 的原点移动到 处。
另外平移不影响 的幅度(谱)。
使用极坐标
可得到如下变换对
这个公式，指出如果 旋转一个角度 , 那么对应的变换 也旋转相同的角度，反之亦然。
和一维情况一样，二维傅里叶变换及其逆变换在 方向是无限周期的，即: 和
变换与逆变换的周期性对于实现DFT的算法至关重要。
图4.6
图4.22
上图a)中的区间 上的变换数据是由在点 处相遇的两个半周期组成的，但该周期的较低部分出现在较高的频率处。而对于显示和滤波目的而言，如图b)所示，在这样的区间内有一个数据连续并且正确排序的完整变换周期更为方便一些。 这句话说的意思是，我们取样用的是两个相邻半周期的数据，但是显示和滤波都需要的是一个完整的周期，因此取样后的需要做重新排序。也就是把取样的数据从中间分成两段，然后交换位置。
我们用(4.71)公式就可以知道:
这就意味着，用所示的指数项乘以 , 就把变换数据的原点 移到了位置 。
我们这里如果取 , 那么指数就变成 ， 。于是就有:
换句话说，就是用 乘以 将移动数据，使得 刚好在区间 上居中。和我们期望的一样，就对应我们的图b)。
二维情形下，图形不容易绘制，但是原理是相同的，比如c)图所示。
二维是四个1/4周期在点 相遇。和一维的情况那样，我们想要移动数据，使得 位于点 处。在式(4.71)中令 , 于是就得到:
利用这个式子移动数据，让 移动到频率矩形的中心，也就是 矩形的中心。图d)就显示了这样的情形。
记住，我们这里讨论的坐标值都是整数。如果大小为 的图像或变换的原点为 的话，那么中心就是 。这个表达式对于 无论奇偶都适用。
函数分析得到一个重要结论，任意实函数或者复函数 都可以表示为奇数和偶数部分之和，其中奇数和偶数部分都可以是实数，也可以是复数:
这个式子对于所有的 都成立。其中偶数部分和奇数部分定义如下: 和 根据上面的定义来说，我们知道奇数部分是中心对称的，偶数部分是中心反对称的。也就是: 和
因为DFT,IDFT中所有指数都是非负整数，所以当我们谈及对称性(反对称性)时，是指的关于序列中心点的对称和反对称，此时奇数和偶数部分定义就变成了:
和
其中 , 意义和前面的一致。
由初等数学分析可知，两个偶函数的积或两个奇函数的积是偶函数，而一个偶函数和一个奇函数的积是奇函数。另外，离散函数是奇函数的唯一条件是其所有样本之和为零。这些性质就可以得到一个重要的结论，也就是对于任意两个离散的偶函数 和奇函数 有:
换句话说，公式4.84的函数乘积为奇的，所以累加和为零。这些函数可以是复数的也可以是实数的。
连续函数的奇偶性很容易看出来，但是离散函数的奇偶性就没有那么直观了。下面的说明可以帮我们澄清前面的概念。
考虑一维序列:
此时 。为了检验偶数性，对于 , 必须满足 ，也就是需要检验
因为 在考察范围之外，它可以是任何值，所以 的奇偶性检测无关紧要。我们上面的序列显然满足后面的三个条件，因此该序列为偶序列。
实际上，我们得到一个结论，任何4点偶序列必须具有 形式。也就是说，在4点偶序列中，只需要第二点和第一点相等。
一般来说，当 为偶数时，一维偶序列具有这样的性质:
当 为奇数时，偶序列的第一点仍然可以为任意值，但其他对应点需要形成上述类似的对等对。
奇序列具有这样有趣的性质，即第一项 永远是0。这是因为:
考虑下面的一维序列 由于序列中的各项在 时满足 , 于是就可以确认这是一个奇序列，对于 只需要检查 即可。我们根据定义来检查其他各项。例如 。任何4点的奇序列都有 形式。
一般来说，当 为偶数时，一维奇序列在位置 值都为0。
当 为奇数时，一维奇数列的第一项必须为零，其余各项形成符号相反的等值对。
另外，序列是偶序列还是奇序列还取决于序列的长度。
比如说，我们已经证明了序列 是奇序列。然而序列 既不是奇序列，也不是偶序列，但它的基本结构(basic structure)表现为奇序列。
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在解释DFT的结果时，这是一个重要的问题。本章稍后将说明偶函数和奇函数的DFT具有一些非常重要的性质。因此，了解函数的奇偶性，对于根据DFT来解释图像结果非常重要。
同样的基本考虑在二维情况下也成立。例如下图以粗体显示中心位置 的一个 的二维阵列是奇阵列，我们同样可以用(4.83)来证明它。
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然而，再添加一行0和一列0后得到的结果既不是奇阵列，也不是偶阵列。一般来说，将偶数维的二维阵列插入一个较大的零阵列时，只要中心重合，那么得到的阵列也是偶数维的，这个阵列保留了较小阵列的对称性。
类似的，奇数维的二维阵列可以插入奇数维的更大零阵列，而不影响其对称性。
上图中的内部结构是一个Sobel核，见图3.50。我们在例4.15中将回顾这个核，那个时候我们滤波需要将其嵌入一个较大的零阵列中。
3.50 Sobel核
利用前面的概念，我们可以建立DFT及其逆变换的许多重要对称性质。频繁用到的一个性质是，实函数 的傅里叶变换是共轭对称的，即
证明:
倒数第二行，因为实函数的共轭为自身，而后面是利用傅里叶变换的定义公式得到的。
类似的，如果 是虚函数，那么其傅里叶变换是共轭反对称的，即 。
表4.1
以上性质都可以用上面两个公式来推理。稍后有空一个个来推推。
表4.2
性质3的说明: 其他的类似。
对于实函数 ,
它的傅里叶变换的实部为 偶序列。 因为序列的数量为偶数，那么对于4个元素的序列来说，偶序列只要求第二个元素和第四个元素相等即可，第一个和中间4/2的可以为任何值。
它的傅里叶变换的虚部为 , 是奇序列。因为对于偶数个元素(4)，我们要求第一个元素为零，中间元素4/2为零，第二个和第四个元素互反即可。
同样由性质8可知，实偶函数的变换也是实偶函数。
性质12表明，偶复函数的变换也是偶复函数。
其他各项也可以类似的方法来分析。
性质3: 如果 是实函数，那么它的DFT的实部为偶函数，虚部为奇函数。
通常是复函数，因此可以写成 ，
那么就有
还有
前面我们已经证明了， 为实函数，则有 , 于是就可以得到
这就证明了我们的命题。
性质8: 如果 是实偶函数，那么它的DFT也是实偶函数。
由性质3，我们已经知道， 为实函数，那么 的实部为偶函数，虚部为奇函数。
我们接下来只需要证明如果 为实偶函数的时候， 的虚部为零即可证得命题。
下面我们用偶数部和奇数部展开最后一个表达式(Even 偶, Odd奇): 第一步利用欧拉公式和 的奇偶性得到的。因为 既是实函数，又是偶函数。在倒数第二行中，我们的虚部只有第二项。前面公式(4.84)我们知道，由初等数学分析可知，两个偶函数的积或两个奇函数的积是偶函数，而一个偶函数和一个奇函数的积是奇函数。另外，离散函数是奇函数的唯一条件是其所有样本之和为零。这些性质就可以得到一个重要的结论，也就是对于任意两个离散的偶函数 和奇函数 有:
换句话说，公式4.84的函数乘积为奇的，所以累加和为零。这些函数可以是复数的也可以是实数的。
所以我们的结论就这样得证了。
性质6:
首先右侧的复不用证明。我们只证明DFT为 即可。 根据DFT定义有:这里并没改变变量。我们正在计算 的DFT，因此简单的将这个函数插入到上面的式子中即可，和处理其他函数一样的方式。
根据周期性，有 , 定义 ，则有 因为 , 所以就有: 证明完毕。
二维DFT通常是复函数，因此可用极坐标形式来表示:
其中
称为傅里叶频谱，或直接称频谱。
称为相位角或相位谱。
最后功率谱可以定义为:
注意，这里的频谱、相位谱、功率谱都是 大小的阵列。
实函数的傅里叶变换是共轭对称的(4.85)，这表明谱是关于原点对称的:
相角是关于原点奇对称的: 另外根据傅里叶变换公式(4.67) 可以得到: 也就是说，DFT的零频率项与 的平均值成正比，即
其中， 表示 的平均值。于是有:
因为比例常数 通常很大，因此 通常是频谱的最大分量，与其他项相比它要大几个数量级。
因为原点处的频率分量 , 所以 有时称为变换的直流分量(dc)。这一术语来自工程领域，在该领域中dc表示直流(也就是频率为零的电流)。
图4.23
图a): 矩形图像。
图b): 图a)的频谱图，值被标定到区间 ，用图像的形式展示。
上面的空间域和频率域的原点都在左上角。都是用的右手系。
注意:
原因我们在前面已经讨论过，主要是周期性。我们这里用了两个相邻的半周期组成的一个周期频谱，高频在前，低频在后。我们要让谱中心化，可以利用(4.76)公式，在计算DFT之前，我们用 乘以图a)中的图像即可。
图c): 就是谱中心化的图像，这里我们就很容易看到，谱是关于中心点对称的。由于直流项支配着谱值，因此所示图像中其他灰度的动态范围被压缩了。
为了给出这些细节，我们可以使用公式(3.4)定义的对数变换，取 。于是就得到图d)。
图d): 显示了 的曲线，此时，增加的细节很明显。
本章和后续章节中的频谱都按照这种方式标定。
由上面的两个公式，我们可以看到，谱对图像平移不敏感(因为指数项对绝对值为1)，但它的旋转角度与图像的旋转角度相同。
图4.24
图a): 对应图4.23a)中矩形右移了一定的位置。
图b): 移动矩形后的频谱和原来保持一致。
结论: 如果两个图像不同，但谱图相同，那么它们的相角肯定不同，这个由(4.86)可知。图4.25中可以看到这点。
图c): 将4.23a)中的矩形旋转了45度，我们可以看到
图d): 对应的谱图像也对应旋转了45度。
图4.25
图a),b)分别对应于图4.23a)和图4.24a)图像的DFT相角矩阵图。尽管两个图只是简单的平移，但是相角图像之间缺少相似性。一般来说，视觉分析相角图像得不到直观的信息。
例如，在图a)的45度方向上，我们可能会直观的认为它会对应于图4.24c)中旋转后的图像，而不对应于图4.23a)中的图像，这点是错误的，事实上，图4.25c)才是对应4.24c)旋转后的相角图，它由一个很强的方向，但是要远小于45度。
DFT谱的分量决定了组合为一幅图像的正弦波的幅度。在图像DFT的任何已知频率处，大幅度意味着在图像中的这一频率的正弦波较为突出；反之，小幅度意味着图像中钙频率的正弦波不突出。如图4.25所示，虽然相位分量的贡献很不直观，但它很重要。
相位是各个正弦分量关于原点的位移的测度。因此，二维DFT的幅度是一个阵列的同时，其分量决定了图像中的灰度，对应的相位时一个角度阵列，它携带了大量关于图像中可识别目标的位置信息。下面用详细例子来说明一下。
图4.26
图a): 一个男孩图像。
图b): 图a)的DFT相角阵列 的图像，其中DFT是用公式(4.88)得到的。这个阵列中不存在引导我们通过视觉分析将其与对应图像的结构关联起来的细节，但是阵列中的信息对于确定图像的形状特征至关重要。
为了说明这一点，我们只用相角重建了男孩的图像。重建过程包括用公式(4.86)计算 的逆DFT，并且令 。图(c)显示了这个结果。当然产生的原图像的对比度远比我们显示的对比度要小，我们这里为了给出在这里讨论中的重要细节，首先利用公式(2.31),(2.32)对结果进行了标定，然后用直方图均衡化对其进行了增强。然而，即便结果得到了增强，仍然丢失了大部分灰度信息。记住一点，信息是由谱携带的，但在重建过程中，我们并未使用谱。
然而，图4.26c)中的形状特征明显来自图4.26(a)。这生动地说明了相角在确定图像形状特征时的重要性。
图d)通过计算式(4.86)的逆DFT得到的，但只用了谱。这意味着令指数项为1，而令指数项为1又意味着令相角为0。不出所料，结果中只含灰度信息，其中dc项是最主要的。图像中没有形状信息。因为我们已经令相位为0了。
最后，图e),f)再次表明了相位在确定图像空间特征方面的优势。
图e)是通过计算(4.86)的逆DFT得到的，计算过程中用的图4.23a)中矩形的频谱和男孩图像中的相角。男孩的特征明显的支配了结果。
图f)是用男孩图像的频谱和矩形的相角计算得到的，显然矩形支配了图4.26f)。
