利益相关：N年前国家集训队队员，本科时某个暑假在德国就第三题涉及的量子热机领域发过一篇paper[1]
我想简单科普一下第三题的物理背景和前沿研究，考完决赛没啥事干的小盆友们可以看着玩，还可以提前感受一下物理学术界～
这题最有意思的知识点在于这句话：“其中pdE为能级变化引起的能量变化，对应于功dW，Edp为概率变化引起的能量变化，对应于热dQ。”用我自己的话说得再简单一点，就是能级自身变化对应于功，粒子在不同能级间跃迁对应于热。
要知道，虽然热力学和统计物理是很古老的经典理论，但如此对功和热的微观定义是非常现代的。可以回忆一下物理竞赛热学部分，经典热力学中我们一般把功简单理解为气缸压缩或扩张时所做的功pdV，而热则是系统和外界环境交换的能量。这种理解对于经典热力学没有问题，因为经典热力学关心的是有大量粒子的宏观系统。但是在研究非平衡态统计物理时我们通常要考虑的是只有少数粒子的微观系统，粒子一边被外力驱动，一边像布朗粒子一样被外界环境持续干扰着，这时候应该如何把能量变化划分成功和热呢？
在上个世纪末，比小盆友们出生早几年的时候，以Ken Sekimoto为代表的统计物理学家用随机微积分的数学语言重新形式化了热力学，称为随机热力学[2]。学物理竞赛的同学大概会觉得经典牛顿力学和热学是几乎独立的两块内容，其中牛顿力学关心的是具体的动力学轨迹，而热学关心的则是大量粒子构成的系统平衡态/准静态时的状态。但问题在于，当系统远离平衡态——现实世界中远远更常见的情形——时，经典热力学和平衡态统计物理就失效了，因此必须得回到动力学轨迹层面来研究，这就是随机热力学的研究动机。也可以说，随机热力学部分弥合了力学和热学之间的gap。而如何在随机热力学中定义功和热则是至关重要的问题。
在随机热力学中，我们把环境对系统的影响简化为随机力（因为环境的时间尺度远比系统快），从而以Langevin Equation为基础（牛顿第二定律加了一个随机力）：
并定义了系统沿着这个方程描述的轨道运动中的功和热：
如果你学过一点统计物理，就知道人们通常会区分微观量和宏观量，其中宏观量是微观量的系综平均。这里也是一样的，我们通常在经典热力学里讲的功和热实际上是宏观定义，等于这里的微观定义的功和热的系综平均！
上面讲得是经典非量子情形，随机热力学取得了成功。然后我们回到题目说的量子系统，如何在量子系统定义功和热呢？事情变得有趣了。一方面，人们通常可以把经典定义中的物理量直接换成量子算符，这是一个定义方法：
另一方面，也可以像第三题题目中那样定义，注意这个定义中含有概率，量子力学中要想得到概率就得测量，因此这个定义需要借助对量子系统的测量，因此显得不如第一种定义自然和普适。这两种定义看着差不多，但实际上有很大差别[3]，而有趣的是，能和量子涨落定理自洽的是第二种定义。因此，如何把经典热力学中功和热的概念自洽地迁移到量子领域依然是一个悬而未决的学术问题。
这样，我们就涉及到了一个本世纪有点小火的统计物理领域——量子热力学。关心的问题包括：经典热力学中的概念，模型，定理如何推广到量子领域，量子领域会不会出现经典里没有的东西。比如量子涨落定理如何证明？量子热机的效率有没有经典热机高？量子卡诺定理是否成立？测量在量子热力学中能起到什么作用？量子的热化过程和经典有什么区别？量子力学相干性在热力学中扮演什么角色？等等。
如果对这篇回答里的内容感兴趣也欢迎看看我写过的另一篇统计物理介绍性文章：
_____________________________________________________________________________
顺便吐槽一下，现在的物理竞赛题是越出越难，已经感觉要被后浪拍死在沙滩上了。。。我们当时的物理竞赛题主要难点还是在思维和计算方面，对知识储备没多少要求，考纲涉及的知识点除了力学外远达不到普物水平。题不会做绝大多数情况不是因为知识储备问题。
现在学生倒还好，有物理天赋的话教什么就能学会什么，但是竞赛教练是越来越不容易了，要当好高中教练简直需要大学讲师水平，贫困省份很无奈。。。
[1] Ding, X., Yi, J., Kim, Y. W., & Talkner, P. (2018). Measurement-driven single temperature engine.Physical Review E,98(4), 042122.
[2] Ken Sekimoto. Stochastic energetics, volume 799. Springer, 2010.
[3] Venkatesh, B. Prasanna, Gentaro Watanabe, and Peter Talkner. "Quantum fluctuation theorems and power measurements."New Journal of Physics17.7 (2015): 075018.
