最近发现了一个贯通概率论、偏微分方程和Fourier分析的例子，让人不由得感受到数学的内在统一美，因此写一篇文章记录一下。
众所周知，1827年，英国生物学家Brown在显微镜下观察到悬浮在液面上的花粉作着高度不规则的运动，此后科学家在其他场景中发现了更多的类似现象，如空气中烟雾的扩散等。但人们一直找不到合适的理想模型描述这一现象。直到19世纪末，人们才逐渐意识到这是花粉受到大量液体分子的无规则撞击导致的。这一现象被称为Brown运动。简便起见，下面只讨论一维Brown运动。
如果从概率论的角度考察Brown运动，记 为t时刻的位移，不妨设 ，不难得到如下假定：
因此有
从而 （这里系数用 表示，原因后面会解释）。记 的特征函数 ，有
假定 ，在 处展开，有
令 ，得到
给出初始条件 解得
从而分布函数为
这是一个方差随时间线性增长的正态分布。
现在让我们把目光暂时转向宏观的扩散问题。当两种不同组分（例如浓度）的物质接触时就会发生扩散现象。1855年Fick提出了Fick第一定律：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散通量与该截面处的浓度梯度成正比，用公式表达就是 。
在 时间内考虑控制体 ，根据质量守恒，控制体质量的增加与流入控制体的质量相等，即
代入Fick第一定律并利用Gauss公式，有
由于对任意的控制体 成立，因此有
一维情况是
给出最特殊的情况 ，解得
这也是一个方差随时间线性增长的正态分布，与(6)完全一致。说句题外话，根据质量守恒得到了扩散方程，同理根据能量守恒得到的热传导方程与之形式上是类似的。
Brown运动的分布函数与扩散方程的解是完全一致的，这不禁引起了我的好奇。二者是否有更深层次的联系？对于一个随机变量 ，设分布函数为 ，定义其特征函数
我们得到了一个深刻的结论：特征函数 是分布函数 的Fourier变换！我们因此也到了由特征函数得到分布函数的公式
事实上，如果采用这个观点，很多反例可以得到解释。例如对于Cauchy分布 ，其特征函数 ，在 处不可导，因此各阶矩均不存在。这是题外话了。
我们再考察一维扩散方程的解法。对(11)式取Fourier变换，有
和(4)式再形式上完全一致！也就是说，Brown运动的特征函数与扩散方程在Fourier变换后具有相同的形式！因此得到相同的解也就不足为奇了。
说了这么多，似乎缺少最关键的一环。能否从理论上推导出Brown运动的分布函数具有扩散方程(12)式的形式呢？在同学的提醒下，我发现这正是Einstein做过的工作。Einstein在1905年发表的文章中，非常暴力地没有使用Fourier工具，而是直接从Brown运动的假定从理论上推导出扩散方程。他的思路如下。
设 时间间隔内粒子随位移的分布函数为 （这里隐含地使用了粒子随位移的分布函数与初始时间无关的条件，也就是假定3）。考虑到对称性， 应为偶函数（这里隐含地使用了假定1）。再设 时刻粒子随位置的分布函数为 时刻的分布函数是 是粒子在 时间间隔内，粒子移动 形成的分布函数，根据全概率公式有
分别在 处展开，有
考虑到 是奇函数，一次项为0，因此有
这就导出了扩散方程的形式，且系数
这对从宏观得到的Fick第一定律中的系数D'赋予了微观的解释，并给出了计算公式。
一个小小的Brown运动，连贯其了概率论、偏微分方程和Fourier分析的知识，不由得让人赞叹数学的内在统一美和简洁美！或许这正是一代代数学家前仆后继的原因吧！
