麦克斯·泰格马克在《穿越平行宇宙》一书中表达了非常之丰富的哲学思想，这里仅浅尝辄止的从中挑选一些关键段落以便展开对其个人的遐想。
简要概之，泰格马克的数学宇宙假说认为数学结构正是我们所处的外部物理实在，而不仅是它的描述。这种物理实在与数学实在之间的等价关系意味着，假如一个数学结构包含一个自知的子结构(self-aware substructure, SAS)（指代一个数学结构中任何拥有主观感知的部分），它将会像身在真实的物理宇宙中一样，感知到自己的存在，就像你和我。
而这个假说的核心思想在于，如果两个完整的描述是等价的——如果两个数学结构中的实体和关系都可以一一对应，这两个数学结构就是等价的——那么它们就是在描述同一个东西。实在中的所有实体都能与一个数学结构内的实体一一对应（比如，“物理空间中的电场强度与一个数学结构中的数字一一对应”），那么外部物理实在就符合一个数学结构的定义。也就是说，如果某些数学方程完全描述了外部物理实在和某个数学结构，那么它们就是同一个数学结构， 外部物理实在和这个数学结构就完全是一回事。
在数学宇宙需要假说的语境中，不向方程“赋予”什么生命，因为数学结构本身就是宇宙。此外，也不需要什么“制造”。你不能“制造”出一个数学结构——它单纯地存在着。它不存在于时间和空间中——更可能是反过来，空间和时间存在于它之中。当然，也有一些数学结构，完全摒弃了时间和空间，因此我们根本想象不出里面会发生什么事。
在泰格马克的数学宇宙假说中，数学结构——物理宇宙大致可分为两类，其一是有限的结构，每个元素数量有限的数学结构都能被编码成一串数字。一个数学结构就是一组简单的抽象元素以及它们之间的关系，对有限的数学结构来说，所有关系都能用有限的数表来描述，因此，它们都能被写入一张有序的总览表中。
但无限的数学结构是无法被这样编码为一个数的，读写无限结构的过程是一个无限的过程。但是，我们表达π的标准方式也并非写下这串无限长的数字，而是写出它的表达式，或者说计算它的算法，尽管这在现实中是需要我们消耗无限的能量来计算或取那无限多的信息。但在泰格马克的数学宇宙假说中，数学结构并非是虚拟现实，尽管数学结构是通过计算的终止来定义的，但却并非是需要实际的计算过程来描述。
在通常所谓的虚拟现实中，一维时间的物理概念等同于逐步进行的一维计算流，下一步的状态总是由现在的状态所决定。然而，在广义相对论中并不存在一个普遍的、自然的、定义良好的总体时间变量，在量子引力中更是如此。用四维时空来看待宇宙远比三维空间更加自然，因此，根本不需要计算机来进行任何计算，它只需要存储所有的四维数据，也就是将那个等同于我们宇宙的数学结构的所有性质都编好代码。这样，在需要的时候就可以读取其中单个的时间切片，这个“模拟世界”在内部居民的感觉中应该很像一个只存储和演化了三维数据的世界。
而且，就粗略估计，要确定我们的宇宙中当下所有粒子的实际状态就大约需要1古戈尔个比特的信息，这对于虚拟现实而言是难以接受的，但对于泰格马克来说这并非难事。
著名的曼德布洛特分形在任意小的尺度上都拥有错综复杂的模式，并且，尽管许多模式看起来很相似，但其实并没有两个是完全相同的。一张曼德布洛特分形图看似拥有数以百万计的精致彩色像素，但其实它的描述非常简单：图中的点对应着数学家们所谓的复数c，而色彩的信息中则编码了复数z从0开始不停重复“平方并加上c”的过程中（也就是重复运用一个简单公式 ）向无穷大飞速暴涨的速度。如果你把曼德布洛特分形切割成亿亿块，尽管描述其中一张图所需的信息比整体还多，但它所包含的信息就能够告诉你它在大图中的位置，而要确定它的位置，最经济的方法就是像这样：“曼德布洛特分形中的第314 159 265 358 979 323 84块”。
一个自然的想法是：描述我们宇宙的所有数字，从WMAP探测器宇宙微波背景天图到某片沙滩上每颗沙砾的位置，是否都能通过一个简单的数据压缩算法，从几乎空无一物的虚无中推演而出？泰格马克对此的回答是：初始条件的信息与我们物理实在的本质无关，而只与我们在其中的位置有关。我们广泛观察到的复杂性只是一个幻觉，因为其潜在的实在拥有非常简单的描述只有在确定我们位于多重宇宙中的位置时才需要将近1古戈尔比特的信息。银河系包含着许多恒星系，它们所拥有的行星数量各不相同，所以，“我们的太阳系中包含8颗行星”这个事实并没有告诉我们任何关于银河系的本质，而仅仅只提供了我们位于星系中的位置信息。第一层多重宇宙中还包含着其他类地行星，从这些行星上所看见的宇宙微波背景辐射模式或星座图景多种多样，能够穷尽所有的可能性，因此，地球上拍到的WMAP探测天图中包含的信息或一张北斗七星的照片，同样也可以告诉我们在多重宇宙中的位置信息。与之类似，32个物理常数包含我们在第二层多重宇宙中的位置信息——假如第二层多重宇宙真的存在的话。尽管许多人认为这些信息与物理实在的本质有关，但其实它们只与我们自己有关。复杂性只是一个幻觉，仅存在于旁观者的眼睛里。
这就好比，数学家们普遍相信（尽管还未被证明）， 中的数字很像随机数，所以，任何可能出现的模式都会在其中某处出现，就像任意初始条件的宇宙都会出现在第一层多重宇宙中的某处一样。这意味着，从1古戈尔位数的 中抽出一段数列，它完全无法告诉我们关于的任何信息，只能告诉我们它在数列中的位置。同样，对于那些典型的、看似随机的、暴胀生成的宇宙涨落种子来说，观测它所包含的1古戈尔比特信息，只能告诉我们所观测的区域在这个广袤的后暴胀空间中处在什么位置。
不过，第三层多重宇宙更像是曼德布洛特分形而非 ，所有可能的模式都以同等的频率出现在 的数位中，然而，许多模式（比如，你朋友的照片）却不会出现在曼德布洛特分形中。曼德布洛特分形中的大部分区域都拥有一种特定的艺术风格（由公式 来描述）。与之类似，在第三层多重宇宙中，大部分停止暴胀的宇宙在遵循量子力学的时间发展过程中，都拥有着相同的规律，我们依然需要保留少量的信息来描述这些规律，特别是第三层多重宇宙的数学结构。但是，根据数学宇宙假说，即使是这个信息，也无法告诉我们任何关于终极物理实在的信息，它只能告诉我们在第四层多重宇宙中的位置。
总而言之：进行模拟的计算机所扮演的角色并不是计算我们宇宙的历史，而是规定它的细节，数据的存储方式（例如，计算机的型号、数据格式等等）都应该是无关紧要的，模拟宇宙中的居民是否感觉到自己是真实的，应当与数据压缩的方法无关。我们已经发现的物理定律为我们提供了极好的数据压缩方法，因为有了它们，就足以存储某一时刻的初始数据、公式以及一个能根据这些初始数据计算出未来状态的程序。
例如霍金-哈特尔波函数（Hawking-Hartle wavefunction）或邦奇-戴维斯暴胀真空（inflationary Bunch-Davies vacuum），但它们的算法复杂性都很低，因为它们都能用简短的物理学论文来定义。但是，要模拟它们的时间演化，就不仅要模拟一个我们这样的宇宙，还需要模拟出众多退相干的平行宇宙。因此，我们的宇宙（甚至于整个第三层多重宇宙）都有可能是由一段简短的计算机程序模拟出来的。
至此，从定义上说，一个任意数学结构的完备描述就是要确定它的元素之间的关系。也就是说，必须存在一个能在有限步骤内计算出所有关系的计算机程序。换句话说，如果我们的世界是一个定义良好的数学结构，那么，它不可避免地要和计算联系在一起，但此处所说的计算与模拟假说中的计算并不相同：这些计算并不主导我们宇宙的演化，只是通过评估它内部的关系来描述它。
另一方面，任何一个物理理论都可以看成一台计算机，它的输入和输出就相当于理论中可测的初态和末态。而有些计算机要比其他计算机更强大。一旦研究者得出一个量子引力理论，他们可以问，这个理论的计算能力是怎样的？
而就数学描述事物变化的方式来看，事物就是与时刻对应的无限多状态的总和，更严格的说事物就是时刻到状态的映射，时刻变化的范围大小可以说是事物的寿命，通过连续函数的概念就可以澄清始终处于变化之中又保持为同一事物的诘难。在之后的数学宇宙中，我们甚至可以根据函数的秩(rank)来定义事物的层次。
关于数学宇宙假说也有一个可检验的关键预测，那就是物理学的研究将会揭开更多自然界的数学规则。这种数学宇宙的预测能力是由理论物理学家保罗·迪拉克（Paul Dirac）于1931年提出来的：
到目前为止，这种预测究竟有多成功呢？从毕达哥拉斯提出数学宇宙的基本想法到今天，已经过去了两千年。随后，伽利略进一步发现自然就是“一本用数学语言写就的书”。接下来，人们又发现了许多影响更加深远的数学规律，从行星的运动到原子的特征，促使迪拉克和维格纳作出令人敬畏的背书。此后，粒子物理学标准模型和宇宙学揭示了新的数学尺度，将其扩展到“不可理喻”的范围。从微观的基本粒子，到宏观的早期宇宙，历史上曾进行过的所有物理学测量几乎都能由32个数字计算出来。面对这样的事实，我不知道还有什么比“物理世界的实在就是纯粹的数学”这个解释更令人叹服。
展望未来，存在两种可能性。如果数学宇宙假说是错误的，那么物理学将遇到一个不可克服的障碍，之后不会再有任何更新的进展——不会再有任何更新的数学规则等着我们去发现，即便我们依然缺乏物理实在的完备描述。但是，假如数学宇宙假说是正确的，那么我们对终极实在的追寻过程中就不会存在任何障碍。没有做不到，只有想不到。唯一的限制，就是我们的想象力！
因此，对于泰格马克来说，研究第四层多重宇宙就相当于探索终极的物理实在，并寻觅我们在其中所处的位置。比起另外三个层级较低的多重宇宙，探索第四层多重宇宙更容易一些，甚至比探索我们自己的宇宙还简单，因为它不需要火箭和望远镜，仅仅需要计算机和思想就足够了，这也致使他花了很多年的时间醉心于编写计算机程序，来演算这种数学结构的表格。
考虑到每个程序都是以一个由0和1组成的有限串存储起来的，也可解释为一个二进制的整数。这就让我们有另一种方式制定总览表，即对某一个数学结构，找出所有能描述它全部元素关系的计算机程序，并挑选出位串最短的那个，用其对应的二进制整数来代表这个数学结构。这同时也意味着，用这种方法调整过的总览表是以数学结构的复杂性按照升序排列的，而这种复杂性——柯氏复杂性是不可计算的。但我们仍可采用其它的复杂性概念，比如计算复杂性
其中只有 类问题是实际可计算的问题类，严格难于 类问题的 类问题的有效计算则是不可能的，已知只有宇宙初期的暴涨才具有指数增长的过程。
不过，就如格雷格·伊根(Greg Egan)在科幻小说《置换城市》（Permutation City）中强调说的那样，在模拟宇宙中，一个观察者感知到的时间流逝速度应当完全独立于计算机运行模拟程序的速度。在一个数学结构中程序完全可以消耗指数时间的资源来提供模拟宇宙中观察者所体验到的超计算能力，在多项式时间内求解 NP-hard 问题。因此，在其它的数学结构中，还是有观察者有机会探索到那些更高复杂性层级的第四层平行宇宙。
诸如 ，，，， 这些复杂性类，都能相对的定义出像是“定义数学结构的程序在不限时间的情况下都能在多项式空间下终止”。从而将 之类的层谱也引入到第四层多重宇宙的宏图当中。
比如文中举例的一个拥有无限多元素的数学结构，即一个包含所有整数及其加法和乘法的数学结构，为了定义它，我们只需指定一个程序让它能读入任意大数，并运行加法和乘法就可以了。而这个程序计算该结构——确定元素之间的乘法关系的时间复杂性为
在接近实际物理的意义上，戴维·多伊奇在注意到丘奇-图灵论题的物理意义后，重新将其表述为丘奇-图灵-多伊奇论题：物理过程占有的时间和空间直接对应于仿真该过程的时间和空间复杂性，互相差别在多项式函数内。考虑到人实际思考描述的过程是一个计算过程，一个定义的描述若不是实际可计算的，那被该描述定义的对象是实际不可定义的。
而更广泛的说，对任意可计算的增长率函数，都能够定义对应的计算复杂性类。
考虑到最基本的函数 , 表示 调用的次数，如
令一元函数 ，因此 ，而对于 同样可以反复调用
令一元函数 ，因此 ，由此定义的时间复杂性 正是计算乘法结构的时间复杂性。
更一般地对于每个后继序数 定义， ，而对于极限序数 的情况，则取 的基本列，一个 长的序列，即 的像集 ，并要求对每个 ，
以 为例则取 ,即 的基本列中的第 n 项，对于 ，规定 ，换言之 ，因此，
已经不在 当中了，因其不是一个原始递归函数
这里也不难看出为什么要求 ，否则 ，而 的7话那就乱套了。但即使如此也不能阻止这种情况
，而对于 ，
若 ，则
若 ，则
如 ，而此处，由于 ，所以 ，使得 与 的值始终一样。
因此，还要求对任意 ，存在一个 k 使得对任意 ，
通过计算复杂性的概念，第四层多重宇宙的宏大就更为直观的展现了出来。但，第四层多重宇宙本身，包含所有终止程序的总览表乃是不可计算的，其不可解度为 ，所以它并不包含自身。
用泰格马克的话来说：
计算等价原理作为一种为什么宇宙是可以理解的解释，承诺了不可解度 的宇宙都是可理解的，而在虚拟现实的本体论中，存在即意味着不可解度为 ，只有不可解度为 才可以存在，而在图灵规约的意义上，不论是宏大的宇宙还是空无所有的虚无都是等价的，同处一个不可解度，从根本基础上从属同一本体，不同不可解度的宇宙从根本上都是不可理解的。
但在数学中，关于这些结构的研究被称为相对可计算。
不可解度被定义为一个等价类，等价关系即 ，也就是所谓的图灵等价。若以 为谕示的图灵机可以计算 ，则称 可图灵规约为 ，记作 。若同时还有 ，则记为 。以 为例，
即所有可图灵规约为空集的自然数子集，也就是所有的图灵可计算集。若 ，则称 的不可解度为 。
定义图灵跳跃 ，即以 为谕示编号为 的图灵机在输入 下终止的 构成的集合，这被称为 的图灵跳跃。由于停机定理，图灵机的停机集不是图灵可计算的。其推广至谕示机即以任一 为谕示的图灵机都无法计算关于自身的停机集。若 是不可解度为 集合，则 的度为 或 ，表示度 集合进行一次图灵跳跃的不可解度。以此类推， 的不可”解度为 或 ，后继序数次图灵跳跃都是如此。
无独有偶， 也恰好是为 -算术公式可定义的自然数子集，称集合 是可定义的，在于存在一个含单个自由变元的公式 使得 当且仅当 为真。而将自然数子集按定义它们的公式进行分类，就是所谓的算术阶层(arithmetic hierarchy)
可算术公式都是有限长的，仅能定义有限次图灵跳跃，定义无限次的图灵跳跃我们需要换种方式，比如在极限序数 的情况，如 ， 是第 个素数，但这种定义就依赖于 和 的双射，不难看出， 是定义是很依赖于此前 的情况，这就要求我们需要拥有对序数的有效描述，即对每个定义用的序数 ，每个 都有描述定义。
考虑到每一描述都可编码为一个自然数，我们实际是需要用自然数来表示序数，对此的定义被称为序数记号系统，而这往往需要一个配对函数，并作如下归纳定义：
0 是序数 0 的表示；如果 n 是序数 的表示，那么 是序数 的表示；如果 是一个极限序数， 的表示就是 ，其中 是一个可计算函数 的编码，使得 是 的表示，而
这样，我们就能定义图灵跳跃迭代，倘若 有记号，那么 的定义如下
若 ，
若 ， 集是 集的图灵跳跃
若 是一个极限序数， 是由 给出的序数序列，
不过，由于每个记号都是自然数，因此只有可数个序数记号，也因而存在一个可数序数是所有可有效描述的序数的上确界，这被记为 。而所有序数记号的集合记为 ，尽管其上的偏序十分复杂，但还是存在一个 -算术可定义的路径，使得有一个 ， 的序型为 且对任意 ， 是可计算的。
这里需要一提的是，对任意 -算术可定义的序数符号集 ，都存在一个 ， 大于每个 中元素所表示的序数。倘若一个集合及其补集都是 -算术可定义的，则该集合为超算术集，超算术谱系作为算术阶层对应不可解度的推广，任意度 的集合都是超算术集。换言之， 的不可解度是极其之高的，不如说 就是 -完备集。
也就是说，即使对 的定义如谕示机那样做一个对 的相对化，在序数记号的定义中对极限序数的表示更改为允许枚举序数记号的可计算函数以 为谕示，记为 ，图灵机以自身不可解的停机集—可解的一切为谕示的反复推广，通过其中能够定义的序数记号加以持续推广，最终能够延伸的广度也终止于 。
若 则被定义为 中记号表示序数的上确界，任取超算术集 ，
事实上，考虑到相对化的超算术谱系可以定义超算术规约， 即 可图灵规约为 ，其中 。由上可知对任意超算术集 ， ，可以说由超算术规约定义的超越度是远比图灵度要宽泛粗略的多的度。
，定义 的超跳跃为 ，只有在 的情况下，才有 ，并且
而与图灵跳跃同样不同的是，-完备集的图灵跳跃也会是 -完备集，但 并不会成为 -完备集，因为即使我们像图灵跳跃那样定义 为 的 次超跳跃，并且利用得到的 来定义 次超跳跃，如此反复推广也始终无法触及 -算术可定义的边界。
至此，我们走的很远很远，似乎都是些非常数学性的内容，但这些并没有那么的数幻，而是科幻的。泰格马克使用程序的终止来定义数学结构-物理宇宙，那么当使用的程序是在超图灵机上运行的又会如何呢？
