还真的是，只能用到微积分，别无它法。
首先，匀速圆周运动的“速”指的是速率，匀速圆周运动其实是变加速曲线运动。
接下来，取两个时刻， 和 （设 ），分别找出它们的速度 和 ，则 时间内的平均加速度是 ，其方向已经指向圆的内侧，并且和 的夹角等于这段时间内的角路程 的一半的余角， 的大小是 ，而 ，故 。
当 不断靠近 时，角路程不断趋于零，因而 也越趋近于90°，这个时候，质点经过的轨迹的弧长可完全视作弦长，即 （其实这个数学表达式很不严谨），这样做是因为在求圆的面积的时候，就是把圆通过半径将其分成无穷多个圆心角为无穷小的扇形，然后把这些扇形拼成了矩形从而得出圆的面积公式。这样算下来，就有 ．
上述说法其实利用的就是微积分的思想，学过导数的同学如果理科间的学习迁移能力较强，那么就会意识到既然加速度定义为速度的变化率，那么就会意识到 ，甚至可以意识到 ，根据圆的方程和参数方程的知识，如果把轨迹圆心放到坐标原点，且在轨迹平面内确定平面直角坐标系后，质点的位置随时间的变化就是 对时间求导得 再对时间求导，得 这就计算出向心加速度 ，又由 ，得 ．
