首先先把子集的定义拿出来。
三个角度来理解。
第一个角度，任何命题和它的负命题（命题的否定）矛盾，我们要证明空集为任何集合的子集，即证明“对于任意的 ，都成立 ”是真的，可以考虑它的负命题，证明它的负命题是假的。
而上面那句话的负命题是“并非对于任意的 ，都成立 ”，意思就是“存在 ，但是 ”。
这句话你觉得会是真的吗？会存在这样的 吗？不存在。因为空集中没有任何元素，我们找不到属于空集而又不属于 的元素，所以这句话是假的。
根据排中律，两个互相矛盾的命题不能同时为假，必须有一个是真的，否则会犯模棱两可的错误。所以原话“对于任意的 ，都成立 ”是真的，即空集是任何集合的子集。
第二个角度，任何命题都与它的逆否命题等价，所以我们可以证明“对于任意的 ，都成立 ”的逆否命题是真的。
先把这句话改写成“如果 ，那么 ”的形式。它的逆否命题为“如果 ，那么 ”。
这句话显然是真的，无论 属于哪个集合，它都不可能在空集当中。既然逆否命题是真的，那么原话当然也真，即空集是任何集合的子集。
第三个角度，涉及数理逻辑中的真值表。
形如“如果 ，那么 ”的命题叫作充分假言命题，其中 叫作 的充分条件。充分假言命题中，当且仅当 真 假时，整个命题为假，其他情况下都真。根据这个原则，当 假时，整个命题为真。
“如果 ，那么 ”中， 表示 。它显然是假的，所以整句话是真的。
那为什么当 假时，整个命题为真呢？回到第一点上，考虑它的负命题。
“如果 ，那么 ”表示只要 成立，那么 一定成立。所以“并非如果 ，那么 ”就代表了虽然 成立，但是 不成立，即 成立的同时非 成立了。
这种表示同时性的命题我们叫作“且命题”， 且非 。当且仅当“且”字前后两项同时为真时，整个命题才是真的，简称“一假全假”。这很好理解，比如说“我喜欢语文，同时我也喜欢数学”，这句话只要有一部分是假的，比如我喜欢数学是假的话，那么整句话就是假的。
现在已知 是假的，那么“ 且非 ”就假了。既然 且非 是假的，那么根据排中律，和它矛盾的原命题“如果 ，那么 ”就一定是真的。
