从二重积分的定义出发。对于定义在矩形区域 上的函数 ，其二重积分 的严格定义是基于黎曼和的极限。我们将矩形 分割成 个小矩形 ，其面积为 。在每个小矩形 中任取一点 ，构造黎曼和：
当分割的模长（所有小矩形对角线的最大值）趋于零时，如果这个和的极限存在且唯一，那么这个极限就是二重积分的值。这个定义是在二维平面上直接“求和”，并没有涉及到任何积分的“次序”。
而累次积分 (iterated integral)，例如 ，是一个完全不同的构造。它是一个嵌套的一维积分过程：
问题的本质就变成了：为什么通过二维求和再取极限得到的值，会等于这个通过两次一维积分过程得到的值？
这里的桥梁正是黎曼和。注意二重积分的黎曼和，并利用有限和加法的交换律来改变求和的顺序：
来分析这个表达式的结构。对于一个固定的 和一个固定的采样点 ，内层的和
非常接近于一维积分 的黎曼和。这里的关键在于函数 的连续性（这是fubini定理在最简单形式下的要求）。 在紧集 上的连续性保证了它是一致连续的。这保证了当 方向的分割无限细密时（即所有 ），不论 方向的采样点 和 方向的采样点 如何选取，内层和的极限确实收敛到这个一维积分。也就是说，当分割的模长 时，
于是，整个二重黎曼和 就近似于
这个形式正是函数 在 上的黎曼和。当分割继续细化，即 时，它的极限就是累次积分 。
以上便完成了一个论证链条：
从同一个二重积分的黎曼和出发，通过重新安排求和顺序，在取极限后得到了累次积分。因此，它们必须相等。
同理，如果一开始就将黎曼和写成 ，那么经过完全对称的推理，我们会得到
由于这两个累次积分都等于同一个二重积分的值，所以这两个累次积分也必然相等。
所以，交换积分次序不变的是因为有限和的加法交换律与结合律是绝对成立的，这允许我们对黎曼和中的项以任意方式进行组合与排序。 同时被积函数 的连续性（或更弱的可积性条件）是保证，在从有限和到积分的极限过程中，这种代数上的重新组合依然有效，并且各个中间过程（如内层积分 的定义及可积性）的极限都存在且行为良好。
