这个问题曾经困扰了我多年，从刚进入高中的时候就想弄明白这个东西是什么。
为了看了不知道多少书，先是翻数学手册，一下就被张量用坐标变换定义的东西给吓傻了，只能自欺欺人的告诉自己“零阶张量是数，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵，三阶张量是立体矩阵……”但是，那是什么还是不明白。
后来又买了很多书，UTM的张量分析，各种微分几何的书什么现代几何学，陈省身的微分几何，甚至在朗道的场论里面想找到一点有物理意义的理解……可惜，失败了。我还是不明白那是什么。我的朋友给我讲，但是他一来就直接上就讲切空间余切空间的……把人会搞的更蒙。
后来高二的一天，突然间就瞬间想通了，当时不过是在饭后的散步中。这件事告诉了我，积累的重要性，也许一个东西，你看很多书后还是没感觉，可是它也许已经在你的潜意识里了，只需要一个触发，以及时间的沉淀……突破这个后，再看微分几何也不再是天书了。
怎么说了这么多题外话……我就大致说说我的怎么理解的。
多 线性 代数
线性代数更本质的它是有线性变换的，而线性变换本身也是可以形成一个线性空间的。这大概就是对偶空间的概念。最简单的例子的还是这样对于空间向量a，定义线性变换这样一个自对偶，于是所以这样的组成了一个新的空间，这两个空间是同构的，也有自己的基底等等。由于这两个空间的向量对于坐标变换的时候表现是相反的，所以被叫成逆变和协变是这个原因。
好了，现在再说张量是什么“东西”我们用表示两个空间的基底，一个张量也有基底，但是它的基底什么“东西”都不是，但可以写成这样
也就是说，它是好几个向量这样张乘起来的。所以多线性代数这一点就体现出来了。
如果我要变单独哪个向量，其他的不动，那么它的变化方式就想一个向量一样……当然还有一种多重线性函数的定义，这个也很好，很多书上有，你可以自己去看……
非常抱歉，我觉得这些东西真的是只可意会无法言传，要说清楚我也感到无力。所以给一个建议是书看多了自然就会慢慢有感觉，或者，多看几本书……
