谢邀。。我下面的回答是基于1936年哈代的一篇关于拉马努金的演讲《印度数学家拉马努金》写出来的，原译文可见于哈代《一个数学家的辩白》中文版附录。
我到现在还是以为哈代是最好的了解拉马努金及其数学的渠道，就算是他的很好的传记《知无涯者》，我也觉得不够直接。
（关于他具体是怎么发现的这些恒等式，连哈代都不清楚，我有哪能得知，下面只是给出拉马努金这个人的数学及其“恒等式”一个轮廓、大概的印象。）
哈代给拉马努金的定位是:
我觉得说得挺好的。
拉马努金在印度之时，数学一直很好，而激发拉马努金的研究天赋的是，卡尔的《纯粹与应用数学基本结果概要》一书，这本书系统阐述了6165条定理，以比较科学的形式罗列着，并附上了证明（但是这部分比较无聊）。该书内容对三角学、微积分、解析几何都有涉猎，不过明显作者最偏爱积分、级数，也是他讲得最好的部分，这也是拉马努金所钟爱的部分。这本书对拉马努金的影响，说多大都不为过
不过该书一点没讲函数论和椭圆函数，所以哈代怀疑拉马努金可能至死也不曾解析函数的概念，而又对他从哪里获得的与椭圆函数有关的知识表达了疑惑。
拉马努金的笔记本，实际上可以看做他学习这本书所做的读书笔记，他沿袭了这本书展示定理的方式。他证明了这书里的一些内容，因为没有其他书的帮助，对他而言，每个解法都是一项研究。他除了做一些证明，另外做出的推广则显得更为丰富、重要，不过几乎完全没有证明。
（关于没有证明这一点，我觉得并不全是因为他当时没有“证明”的概念，更大程度上是因为书写用纸太贵，他写笔记时极为拮据，根本不可能有那么多纸去完整地写下证明。伟大如黎曼，晚年用纸都是十分拮据的，以致后人看他的草稿纸，都很难找到些什么，好多年过后才有西格尔找到了如何计算黎曼零点）
另外关于拉马努金曾说的“娜玛卡女神在梦中用公式向他启示”，我觉得更像是一种譬喻。毕竟，按哈代的分析，拉马努金是不“信”神的。
下面一起看看哈代在这篇文章里所举的15个“拉马努金式”的恒等式
这15个式子，算是比较典型的了。（1）-（4），是典型的级数公式；（5）-（7）则为定积分式子；（8）-（12）是连分数有关的；（13）是椭圆函数里一种容易得到的推论；（14）（15）是有问题的。积分、级数、连分数是拉马努金的恒等式里出现得最多的，加上椭圆函数，和最后一个与数论相关的式子，加上一定的出错比例，这确实是一份代表性很强的样本。
而里面的（2）（7）（8）都是已有人发现的，（13）也早已有类似结论为前人所证，哈代也说椭圆函数方面的专家能立刻看出其是以某种方法从“复乘法”理论中推导出来的，（5）（6）这种则为哈代这种定积分高手所证。用哈代的话来说，（14）虽然错了，但确是他最富成果的研究之一，这指引了他和拉马努金在这一领域的重要研究。（15）则完全是误入歧途了
细究起来，拉马努金的“大部分”工作（在对拉马努金的笔记本的后续发掘中，得到的很多东西是原创度很高的结果），都是早已发现的，他在印度时的环境，根本无法得知欧洲数学发展到何种地步，所做的很多工作都是徒劳的重复。有的工作到底是学来的，还是自己发现的，连哈代都难以断言
另外可以说一说他在数论上的贡献，因为这里也有他写下的恒等式。
他在雅可比工作的基础上，发展了将整数表示为平方数之和的理论；他的笔记本里的笔记显示，他独立地发现了素数定理；他也独立发现了黎曼Zeta函数的函数方程，泊松和阿贝尔的一些结果。
而另一个广为人知的故事是关于数字1729的，哈代以为是一个寻常甚至糟糕的数，拉马努金却很快反应过来这个数是个非常有趣的数，它是最小的能以两种不同方式写成两立方和的数。
故事还有后续。哈代立马问四次方的情形，拉马努金思索一番过后回答说找不到明显的例子，他认为这样的第一个数一定非常大。（事实上，欧拉早已给出第一个这样的数，即635318657。）
而我前面提到的关于拉马努金在数论上的恒等式，则是说的拉马努金关于tau-函数的著名猜想，其是以等式的形式给出的，该猜想中最难的部分是在格罗滕迪克建立代数几何体系后，由其弟子德利涅证明的。其余部分可以参考我在这个问题下的回答的这个回答: 介绍一下最著名的拉马努金猜想？ 里面给出了一点资料，有其部分证明。
