这问题其实并不是一个 适合初学者过度探寻的问题。
在矩阵论或甚至说代数中，学完某一概念的初步定义，在后续的不断深入学习中，会从各种初学者想象不到的视角或者说层次，再次审视行列式这种概念，会获得完全不一样的理解。
所以其实本质就算摆在初学者面前，也看不懂，往往只会给初学者带来虽然不同于但类似扔一堆「逆序数」「余子式展开」等定义的学习压力。
其次，行列式的定义和计算或者说解释，其实非常非常多，在不同学科不同领域甚至不同视角下，从表面上看是非常不一样的，而最抽象的那个本质又不是初学者的知识水平能触及的。
这一点其实和矩阵类似 (知乎有个问题叫做矩阵乘法的本质是什么，回答里也是八仙过海)
Artin所写的Algebra一书中，第一次提及行列式，是这么描述的：
这里就把行列式定义为一种映射，甚至更窄一点，视作一种函数。但是这种理解是抽象的，不具体的，难以计算的。
所以这里同时给出了行列式的几何理解，以及按行或按列展开的计算方法。
所以单纯用几何理解去解释本质，或用展开计算法去描述定义，都不能真的给其本质下个定义。
对于很多概念(不局限于数学），找到一个适合初学者的理解方法即可，不必在早期过度思索本质和存在意义问题，学下去就行了。
就像萨特所说，人的存在先于本质。个人看来，有些数学概念亦是如此，逻辑顺序和历史顺序是两回事，而本质问题往往在逻辑链上隐藏在重重帷幕之下。想像行列式的发明以及克拉默法则的诞生都在矩阵之前一样，矩阵发明偏偏又在向量空间的皮亚诺公理之前，这些都是存在先于本质。所以急躁的追求一种本质，在草草得到一个似是而非，不像教科书那样晦涩的答案后，又囫囵吞枣般走开，并不是一个好习惯。
但是，这不意味着能随便拿一个晦涩又让人头昏脑胀的定义砸向读者的理由。我非常反感同济线代教材直接随意的扔给读者一个逆序数的定义 (逆序数其实和群的概念有高度的相关性) ，然后匆匆定义一个行列式的公式，下面就是各种性质的证明，简直让人摸不着头脑。
这不叫存在先于本质，这叫给探寻本质的车轮上加了把锁 (逃)
上面的对于初学者来说，已经足够了。
如果觉得完全不够，那至少得从群论说开，也可以从从映射角度，甚至更抽象更一般的层面解释 (不是上面函数映射几句简单阐述，且和伸缩因子的概念也不完全相同)，不过，这些方面其实几个高赞早已说的非常透彻清晰，感兴趣、有相关前置知识的 也可以移步了。emm要是哪天发现一个和其他回答不一样的理解角度再回来更吧
