几何上，还可以从 上同调的角度去看待. 而 上同调又是单纯上同调的光滑版本，单纯同调是单纯上同调的对偶版本，所以从单纯同调看是最基本的看法. 而这种看法兼具了大家回答中各种观点：无穷小量、切线、余切丛截面……
单纯同调论最重要的就是边缘算子 . 给定一个单纯形（线段、三角形、四面体……）就可以求它的边缘.
……
同维数的单纯形线性组合（给定某系数交换群），可以构成一个交换群，我们称之为链群 ，于是边缘算子就延拓为群同态 . 而所谓上同调，就是由对偶的概念导致 （链群 上的线性函数构成的群），于是边缘算子也会有它的对偶算子（这就是为什么一些大佬会提及余切丛的根本原因）， 有
我们称之为上边缘链算子，它是边缘算子 的对偶算子，在 上同调中，也就是放到光滑流形上，对应的是外微分算子 （普通微分的推广）. 而 的光滑版本就是著名的 公式：
在 维情况下就是牛顿-莱布尼兹公式：
如果写成 的形式，且假设 是线性的，则有
这也体现了微积分的本质——将光滑函数在局部视为线性函数. 一条曲线的边缘就是它的端点的线性组合，回头看看 ，你会发现这是一回事.
对于 维流形 （比如 ），它的下同调边缘算子将光滑函数映射为 维向量场
如果给定某一点 ，就得到 点处的导数为 ，不过我们更习惯于使用微积分中的符号 或者 . 但是一般我们更习惯于 ， 被我们用来表示多元函数的偏导数，但是实际上我们知道其本质上是一致的. 其中 你也可以视为关于另一个变量 的光滑函数，它表示任意通过点 的曲线，但是由一阶微分不变性，这不影响导数定义是良定义的. 这样一来，就和切空间的定义是一致的了.
而对于上同调，上边缘算子
可见，对于 维流形无论是上同调还是下同调，我们得到的结果是一致的，所以就没有必要特意区分两者了（ 理论）.
