先说结论：“微分”是微小变化量的线性主部。为了说明“线性主部”的概念，以及理解它和微小变化量自身的区别，我们先看一道题：
下面的函数图像上，在 处， 和 的大小关系是什么？
很显然，我们有 ，这是因为附近，函数图像在切线上方。
这里我们就发现了一个问题：微分不是指微小变化量的近似。由于和是不相等的，所以不能代表的微小变化量。同样，不能代表的微小变化量。也就是说，微分代表接近于零的微小变化量是错的！
那么，微分代表什么呢？
如果我们用切线代表的线性函数来近似原来的函数，那么和就是成正比的关系了，这一比例系数就是导数。既然微分体现的是线性函数近似，我们就可以引入线性主部的概念：比如图中的函数 ，它的切线是 ，这一切线函数的变化量，就是线性主部。
利用微分和导数的关系，我们发现微分就是变化量的线性主部。
这件事告诉我们，也是不能直接导出的。这会让人认为，微分和导数是一回事。也就是说，形式不变性不是一个平凡的性质！！！
这样，我们也从微分的角度理解了导数的定义。
如果我们把“导数”换成“偏导数”，我们就会发现一个看起来很奇怪的东西：既然一元可导函数一定可微，那么为什么多元可偏导函数为什么不一定可微？
实际上，你看下多元函数的微分定义的适用条件是函数可微（而不是可偏导），就知道微分和导数是两个不同的概念了。
就以最常见的二元函数为例，它也是有图像的。不同于一元函数，它的图像有多种不同的表现形式。
首先，我们可以用曲面 来表示二元函数的图像。
虽然教材没有在二元函数的章节画过这一类图像，但是在“空间解析几何”里面，我们就已经在平面和二次曲面里接触过二元函数的图像了。
比如下面的椭圆抛物面 ，或者平面 ，都属于二元函数图像的范畴。
其次，这张图上的彩色，也可以成为一个二元函数图像——这就是各种各样的“彩图”。
我们知道，一元函数中，微分代表着切线代表的线性函数近似；而二元函数中，微分也代表线性函数。由于二元线性函数 的图像是一个平面，因此二元微分是用切平面近似。
在二元函数中，线性主部就要写成。一元函数可导，意味着切线的斜率存在，而切线的存在就意味着可微；而二元函数可偏导，只意味着有偏切线，换句话说 只在 和 其中有一个非零是才成立，而两者都不为零时就不成立了。
比如大家喜闻乐见的 ：
由于 与 有关，因此 不存在，函数在 不连续，因此不可微。但是由于两个偏函数 ，因此两个偏导数都存在，而图像上也可以观察到，函数在 不连续，而平面 也不是 图像的切平面。
因此， 也不适用了。
从偏导数的几何意义来看，它只保证偏函数（或者）有切线，不保证有切平面，这就导致了，二元函数可偏导不一定可微。
说到这里，我们就发现了一件事：“ 在 可偏导但不可微”描述了一个很抽象的东西，但是一旦它转化为具体的 的图像，“可偏导但不可微”这件事代表什么，就一目了然了。
这，就是几何直观的强大之处，它可以帮助你理解微分的定义。相信大家看到这里，也有很多感触了，你认为这对你的数学学习有什么样的帮助呢？欢迎提出你的见解。
