1654年，一个职业赌徒向帕斯卡提出了一个问题，大意是两个赌徒在游戏中途因故中止，此时一人领先，如何分配赌注才算公平？
帕斯卡和费马之间的通信，催生了现代概率论。他们的想法是，计算各种可能结果的数目，然后按比例分配。这就是古典概率的原型。
后来，雅各布·伯努利系统化了这个想法，拉普拉斯在1812年的《概率的分析理论》中把它推向顶峰，给出了一个定义：
这个公式让很多人觉得概率问题已经解决了，可是只要你多想一步，就会发现这里有一个深藏的循环。
分母里有个关键词：等可能。什么叫等可能？就是每个结果发生的概率相等。可是你用“等可能”来定义概率，那“等可能”本身是什么意思呢？你已经在定义中预设了你想定义的东西。
19世纪，随着统计物理、生物统计和社会统计的兴起，很多科学家对拉普拉斯概率定义中的主观色彩感到不安。
于是诞生了频率主义，频率主义的基本观点是：概率是在无限次重复实验中，某事件发生的频率极限。
约翰·维恩在1866年明确了这个思路，冯·米泽斯在1919年给出了更精确的版本。正式的定义是：在一个无限长的实验序列中，事件 发生的次数为 ，总实验次数为 ，则
这个定义的关键在于它的客观性，概率是一个可以原则上通过实验逼近的真实数字，就像物体的质量、电荷的强度一样。
但频率主义面临的问题也不少，最难以回答的是单一事件问题。
如果你问“这台手术成功的概率是多少”，频率主义就难以回答，因为这台手术不能无限重复，极限频率的定义根本不适用。
频率主义的回答通常是：你说的手术，应该理解为“所有条件相似的同类手术”这个集合中的一次。
但这里又有一个新问题，什么叫“同类手术”？你可以按患者年龄分类，按手术方式分类，按主刀医生经验分类，每一种分类给出的参照集不同，得到的频率也不同。这就是著名的“参照类问题”，频率主义至今没有一个令所有人满意的解答。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫做了一件事，他拒绝回答概率的本质是什么，只规定了它必须满足什么。
他把概率论建立在测度论的基础上，给出了三条公理。用现代的语言说就是：
第一，任何事件的概率都是非负实数。
第二，全集（必然事件）的概率为1。
第三，如果两个事件互斥，它们并集的概率等于各自概率之和。
第三条公理还可以推广到可数无穷个互斥事件的情形，这是连续概率分布能够良好定义的关键。
从这三条公理出发，几乎整个概率论的数学大厦都可以严格地推导出来。大数定律、中心极限定理、条件概率、随机过程，全都在这个框架里找到了了清晰的位置。
这是了不起的成就，但它对哲学问题只字不提。
公理体系可以告诉你概率如何计算，但无法告诉你那个数字究竟意味着什么。 到底在说一件什么事？柯尔莫哥洛夫本人倾向于频率主义的解释，但他的公理体系对此保持完全的中立，你可以用任何解释去填充这个形式外壳，只要它满足三条公理，数学都认账。
哲学问题被暂时搁置，但并没有消失。
二十世纪上半叶，有两个人几乎同时提出了一个完全颠覆前面所有讨论的想法。
剑桥哲学家弗兰克·拉姆齐在1926年写了一篇文章，意大利统计学家布鲁诺·德菲内蒂在1937年发表了系统性的论证。他们的核心主张是，概率不是世界的属性，而是理性主体的信念度。
德菲内蒂有一句宣言：概率不存在。
他认为世界上没有一种叫做“概率”的客观属性等着你去测量，存在的只是你对某个命题为真的相信程度。
这听起来像是取消了概率的客观性，变成了纯粹的主观游戏。但这里有一个精妙的限制：如果你的信念度不满足概率公理，那么你的信念体系就会出现一种叫做“荷兰赌”的漏洞。
荷兰赌的论证大概是这样的。假设你认为“明天下雨”的概率是0.6，“明天不下雨”的概率也是0.6，两者之和超过了1。这时我可以构造一组赌局，让你无论天气如何都会亏钱，这是纯粹的套利，任何理性人都不应该接受。反过来说，只有当你的信念度满足概率公理时，才能保证不存在这样的套利机会。
这个论证的重点在于，你不需要相信世界有客观概率，只需要相信理性要求的一致性，就足以推导出概率公理。
这一流派后来被称为主观贝叶斯主义，因为它天然地与贝叶斯定理结合在一起。你有一个先验信念 ，你观察到证据 ，然后通过贝叶斯定理更新到后验信念 ：
这个框架有着强大的普适性，它不仅能处理单一事件，也能融合各类不同来源的信息，能给出科学假说在证据面前被“支持”或“削弱”的精确含义。
贝叶斯方法在20世纪下半叶的机器学习和统计推断中的崛起，很大程度上是主观主义这套哲学框架的胜利。
不过它也有一个问题：先验从哪里来？
你在开始推断之前，需要一个初始的信念 。不同的人可以有完全不同的先验，通过同样的贝叶斯更新，最终得到不同的后验。两个理性人可以不同意同一件事，因为他们的初始信念不同。
主观主义者通常的回答是，这没问题，只要随着证据积累，不同的先验会逐渐收敛，最终趋向一致。
但是，如果概率只是个人信念，科学声称的客观性又从何而来？
为了回应先验任意性的批评，一批研究者尝试找到某种“客观的先验”，让贝叶斯框架的主观色彩不那么强烈。
哈罗德·杰弗里斯在20世纪40年代开始这方面的探索，埃德温·贾因斯在50到80年代把它发展成了一套完整的体系，核心工具是最大熵原理。
想法是这样的：如果你对某个问题有一些约束信息，比如你知道某个随机变量的均值，但除此之外一无所知，那么在所有满足这个约束的概率分布中，哪个是最合适的先验？
贾因斯的答案是，选择使信息熵
最大的那个分布。这个分布在满足你已知约束的前提下，对你未知的东西做出最少的假设。
最大熵原理把古典概率的无差别原理推广成了一般情形：当完全没有信息时，最大熵先验就退化回均匀分布，也就是古典概率。但当你有部分信息时，它能给出精确的指导。
客观贝叶斯主义是一种折中立场。概率仍然是信念，但对于特定的认识情景，理性会迫使你采用唯一“正确”的先验，不存在任意性。
前面的几种立场，无论是频率主义还是主观主义，都有一个共同的特征，概率要么依赖于实验的重复，要么依赖于主体的信念。
哲学家卡尔·波普尔觉得这两条路都不够令人满意，他在1959年提出了一个不同的主张：概率是物理系统的倾向，是客观存在于世界中的属性，既不是频率，也不是信念。
当我们说“这枚硬币正面朝上的概率是二分之一”，我们是在描述这枚硬币这个物理系统的一种固有特征，即它有一种产生正面的倾向，强度为二分之一。这个倾向不依赖于有没有人去掷它，也不依赖于你掷了多少次，它就在那里，是硬币的物理属性。
但批评者很快指出，用这种“倾向”来解释概率，实际上是用另一个难以理解的词代替了原来那个难以理解的词。倾向是什么？是一种造成特定结果的力量？那这种力量在物理上对应什么？如果它导致结果，为什么每次的结果又不同？
倾向主义最终很难给出比“概率是概率”更多的内容，批评者认为它只是重新命名了问题，而没有解决问题。
尽管如此，倾向主义有一个不可忽视的优势，它在直觉上与量子力学的图景高度契合。比如放射性原子衰变，看起来确实像是原子本身有一种“倾向于衰变”的内在属性，这一点我们后面会说到。
回到数学本身。
柯尔莫哥洛夫的公理化在技术上是如此成功，以至于很长一段时间内，数学家们对哲学问题保持了一种有意的冷漠。
概率论的内部发展如火如荼，马尔可夫链、布朗运动、随机微分方程、鞅论，每一个分支都是技术上的辉煌成就，也都在物理、金融、信息论中找到了深刻的应用。
但这也带来了一个很有意思的现象，同样的数学，在不同的应用场景里，被不同的哲学立场的人同时使用，而且都用得好好的。做医学临床试验的统计学家是频率主义者，做贝叶斯网络的机器学习工程师是主观主义者，做量子场论的物理学家倾向于倾向主义，大家各自安好，互不打扰。
20世纪最大的挑战来自物理学本身。
在经典力学里，概率是认识论的，我们用概率，是因为不知道精确的初始条件。掷骰子不是真的随机，是因为我们不知道骰子的初始角速度、着地时的气流等细节。原则上，只要知道这一切，就能精确预测每一次掷骰子的结果。宇宙在根本上是决定论的，概率只是我们的认知补丁。
然而量子力学打碎了这幅图景。
量子理论的核心是薛定谔方程，它描述的波函数演化是完全确定论的，没有任何随机性。但当你试图测量一个量子系统的某个性质时，结果却是概率性的。一个电子经过双缝，落在屏幕哪个位置，量子理论只能给出概率分布，不能给出确定的预测。
这本来还不足以推翻决定论，因为也许量子力学是不完整的，也许存在某些我们尚未发现的“隐变量”，补充进去之后可以恢复决定论，爱因斯坦就持这种观点。
但约翰·贝尔在1964年证明了一个数学定理，后来被实验物理学家多次验证，任何定域隐变量理论都无法重现量子力学的统计预测。阿斯佩、克劳泽、塞林格等人做的一系列实验以越来越高的精度排除了定域隐变量的可能性。
量子概率，是不可还原的，这种随机性本身就是世界的基本特征。
如果量子概率是真实的，不可还原的，那么频率主义对了吗？不完全对，因为量子概率依然面对单一事件的问题。
倾向主义对了吗？看起来更合适，放射性原子衰变确实像一种内在倾向，但“倾向”是什么的问题依然没有答案。
于是物理学家和哲学家们提出了各种量子力学诠释，每一种都对概率的本质有不同的主张。
哥本哈根诠释是历史上最主流的立场，粗糙地说，它认为量子态描述的是对测量结果的预测，不要去问测量之前系统的状态是什么，那是没有意义的问题。概率是预测的工具，波函数在测量时坍缩，这一过程不需要进一步的物理解释。这是彻头彻尾的工具主义，它回避了概率是否“真实存在”的问题。
多世界诠释由休·埃弗里特在1957年提出。他的想法是波函数从不坍缩，每次测量宇宙分裂为多个分支，每个分支对应一种测量结果，所有结果都真实发生，只是在不同的宇宙分支里。在这个图景里，概率是什么？这里有一个著名的难题：如果所有结果都实现了，那“概率”意味着什么？大卫·多伊奇和大卫·华莱士尝试通过决策论来推导玻恩规则，也就是用振幅的平方来计算概率的规则，但这个论证是否存在循环论证仍然有争议。
玻姆力学（又叫导波诠释）走了另一条路，恢复决定论。粒子有确定的位置，被一个引导波引导运动，每次实验的结果原则上是确定的。概率来自我们对初始条件的无知，拉普拉斯式的决定论在量子层面上复活了。代价是这个理论是非定域的，引导波在全宇宙中即时更新。
回到最开始，掷一枚硬币，正面朝上的概率是二分之一。这句话，在不同的哲学立场下，有完全不同的意思。
频率主义者说：这意味着，在无限次掷硬币的序列中，正面出现的频率极限是二分之一。
主观贝叶斯主义者说：这意味着，一个理性主体对正面朝上的信念度是二分之一，并且他愿意以对等的赔率接受关于这枚硬币的任何赌注。
客观贝叶斯主义者说：在没有关于这枚硬币的任何额外信息的条件下，最大熵原理要求我们把正面和反面各分配二分之一的概率。
倾向主义者说：这枚硬币的物理结构赋予它一种产生正面的倾向，其强度为二分之一。
工具主义者说：这是一个有效的预测工具，告诉你长期来看下注策略的期望回报。
今天的大多数哲学家和数学家倾向于一种实用的多元主义，概率是一个多义词，在不同的语境里指向不同但相互关联的概念。
这些不同用法并非彼此矛盾，而是在不同情景下对同一形式框架的不同诠释。公理体系的中立性在这里成了优点，它足够一般，各种诠释都能在它之下找到安身之所。
但这种多元主义也像是在说，我们已经放弃了寻找一个统一的答案。对于一个深层次的哲学问题，这种放弃也许是务实的，但也许不能令所有人满意。
