本文主要面向学工科的了解泛函分析中的概念，以及为什么要提出这些概念，而不涉及具体公式的推导证明。如果需要详细了解泛函分析的各种定理及推导，对于工科生，我个人推荐大连理工大学郭旭院士的泛函分析课程，b站视频链接为：《力学中的泛函分析与变分原理-郭旭》。
在以前的学习中，我们都是以“数”作为自变量进行研究，例如假设自变量 ，其函数曲线如下图所示
那么我们可以比较容易地通过以前学过的方法求得该函数在定义域 下的最大值，并知道函数取最大值时自变量 的取值。
那么现在，假设有这么一个公式：
假设其图像长下面这样：
我们不是求在 取某个值的时候 能够取得最大值，而是需要求当函数 是什么函数时 能够取得最大值。换而言之，泛函分析只不过是把研究对象从以前的“数”变成了现在的“函数”。在本案例中， 就被称为泛函，其能够将函数映射到某个数域上。
当然，通过泛函分析求“最大值”只是其一种应用，我们学习泛函分析时还会遇到其他各种问题，如收敛性、连续性等。那么，我们要如何研究这些概念呢？
泛函分析，无非就是把以前“数”的概念都搬到“函数”上来。点与点之间有距离的概念，那我们也可以定义函数与函数之间距离的概念；向量与向量之间有夹角、有正交的概念，那我们也可以定义函数与函数之间有夹角、有正交的概念；某个序列能够收敛到某一点，那我们也可以定义某个函数序列能够收敛到某个函数。总而言之，我们就是把“数”中一些熟悉的概念搬到了“函数”上，用以前研究“数”的思路去研究“函数”的各种性质。
在以前的“数”中，我们都是通过空间中一个一个的点来表示这些“数”的。例如，在三维空间下，一个点能被我们用三个坐标值来表示。因此，自然而然的想法是，我们能否通过空间中的一个一个点来表示“函数”呢？答案是当然可以，但是，能够用点表示”函数“的空间又该如何定义呢？本小节中，我们将以前的欧几里德空间广义化，从而引出了“空间”的概念。
满足某种性质的集合在一起构成了一个空间，而该集合中的元素被称为该空间中的点。举一个例子，我有一个集合 ，然后在集合 中，我定义了加法，即我规定集合 中的任意两个元素都可以两两相加，那么我就可以称这是集合 的一个加法空间，而 、 、 、 、 就是该空间上的五个点。也就是说，满足“加法”性质的集合 构成了一个“加法”空间。
又例如，二维实数集 能够构成一个二维欧几里德空间，也就是说这个集合能够有“加减法”、“向量”、“面积”等满足“二维欧几里德”性质的概念。
值得注意的是，我们没有非得通过数组成的集合构成空间。例如，我们也可以定义集合 ，然后定义加法和数乘。例如数乘：“ ”，例如加法：“ ”。你可以说它们构成了一个颜色空间。这一思想也为后面如何通过空间中点定义函数提供了一些帮助。
空间具有封闭性的概念。什么是封闭性呢，我们再以上面的集合 的一个加法空间为例。尽管我们定义了加法，但是很明显， 中的某些元素相加之后的结果不在集合 里面了。例如， 和 都在集合 中，但是 ，而 显然不在集合 中，那么我们就称集合 对加法不封闭，也就是说集合 的这一个加法空间不具备封闭性。
在以前学过的集合中其实就有封闭性的概念了，但只是当时我们学这些集合的时候没有往这个方向去想。例如，自然数集对加法封闭，但是对减法不封闭，于是就有了整数集；整数集对加减法封闭，但是对除法不封闭，于是就有了有理数集；有理数集对加减乘除封闭，但是对柯西数列极限不封闭，于是有了实数集；实数对开根运算不封闭，于是有了复数集。
这里，我将对“有理数集对加减乘除封闭，但是对柯西数列极限不封闭”具体说一下，因为这个涉及到空间完备性的概念。
什么叫做对柯西数列极限不封闭呢。对于有理数集 ，假设序列 ，其中 ，如果对于任意 ，存在正整数 ，使得对所有整数 有：
那么就称序列 是一个有理数的柯西序列。通俗来讲就是说如果 那么这就是一个柯西序列。
那什么叫做对柯西数列极限不封闭呢？假设有一个序列，它的第 个元素为取 的前 个小数：
很显然， ，且他们能够构成一个有理数的柯西序列。但是，它们的极限是 ，是一个无理数： 而 显然不属于有理数集 ，因此我们称其对柯西序列极限不封闭。
在这个例子中，是通过 来定义柯西序列的，那么在 空间中，我们可以用两点间的距离来定义柯西序列。同理，在其他空间中，我们可以首先定义距离的概念，然后同样的通过空间中的两点距离定义柯西序列，然后判断其是否对柯西序列封闭。假设这个空间对柯西序列封闭，那么我们就称这个空间具有完备性，也说这个空间是一个完备空间。
我们先回忆一下，我们是如何定义 空间中的一个点的：
描述空间中的点，我们一般是通过这个点在某一坐标系下的坐标来描述的。例如，我们会首先建立一个坐标系 ，然后定义点 的坐标是 。这个点一般通过向量表示： 其中 ， 。类似的，对于 空间中的点，我们也可以用 来表示： 以此类推，对于 空间，我们可以用 个向量表示： 这里， 被称为基向量，由这些基向量能够构成一个空间的基底。要注意的是，基向量的选取不唯一，例如在 空间中，我们也可以选 ， 作为基底，也能在该组基向量中通过某个坐标表示同一个点 。
既然“数”能够在空间中被这样定义，那么“函数”能否通过相同的方式来定义呢？例如对于函数 ，我们能否这样定义： 如果要这么定义，那么这个空间下基底 又该是什么呢？回想一下，对于函数，我们有各种展开式，以泰勒展开式为例： 其中 为函数 在定义域上的某个点。对比一下，发现两个式子是不是挺像的。假如 确定了，那么可以令 是一个常数， 是一个关于 的函数。也就是说，函数 可表示为在空间中以 为基底，以 为函数坐标的一个点。同时，我们可以发现，要表示一个函数，需要可数多个基向量，因此，函数空间是一个无穷维的空间。
在泛函分析中，就是这么在空间中定义函数的，只不过，由于通过泰勒展开式的得到的基底不是正交的，泛函分析中一般会选择其他的基底来表示一个函数，例如通过傅里叶展开得到一个正交基，然后在这个基底下通过坐标定义函数。
有了点就能定义两点间距离的概念，有了向量就能定义向量长度的概念。要定义函数的距离，我们首先回想一下，在平面上的两个点 和 要如何定义距离？
在常见的二维欧几里德空间中，我们可以定义 、 两点之间的距离 为：
这只是在几何的视角下定义的两点的距离。但是，距离的定义不是唯一的，在不同的视角下，可能可以通过不同的方式来定义距离。例如，小明考了300分，排名第15名；小红考了400分，排名第2名。我们可以说两者学习成绩上的差距（距离）是100分，也可以说两者学习成绩上的差距（距离）是13个名次。因此，我们需要广义化距离这个概念。
在“数”中，假如两个点的距离为0，那么我们就可以说这两个点是相同的。同时，我们可以发现，从点 到点 的距离应该是等于从点 到点 的距离的。而且，我们可以知道，距离应该不会有负数的存在，应该是一个正实数。因此，对于某个集合 ，以及该集合上的任意点 ，我们可以通过以下的规则广义化距离函数 ：
当满足这三点的情况下，我们就能说函数 是一个距离函数，也叫度量函数。而集合能够被度量的，则该集合能构成一个度量空间。例如，定义距离函数： 这个函数的定义也满足上面关于距离函数的性质，因此这也是一个距离函数。
而向量头尾两点之间的距离，就是向量的长度了。向量的长度不仅需要满足上面距离的三条性质，还需要满足绝对一次齐次性。对于假设 是域 上的向量空间（例如 是 ， 是 ），那么对于任意向量 ，数 ，能够通过以下的规则定义范数 ：
我们把向量的长度称为向量的范数。而具有向量长度性质的集合构成的空间，我们称之为赋范空间。而其中，有一组特殊的范数叫做 范数，其定义如下： 其中 表示 维向量 的第 维坐标。很明显，欧几里得空间中定义的向量长度是一个 范数。
以上是在“数”中广义的距离和范数的概念。那么在“函数”中，我们也可以定义一个函数（作为某空间下向量）的距离和范数。假设某函数向量空间 中的函数 以及其定义域为 ，可以定义其距离 和范数 ：
其中 。值得注意的是，如上文所说，这种定义距离和范数的方式不是唯一的。由于函数是无限维的，因此这样具有距离和范数的函数空间是一种无限维的赋范向量空间。而如果一个有限维或无限维的赋范向量空间具有完备性，那么我们就称这个空间是一个Banach空间。
同时，参考“数”中 范数的概念。对于函数，如果定义其范数为以下形式：
其中的积分是Lebesgue积分。此处，只有当函数 是 次勒贝格可积函数时，范数才存在。我们将如此定义范数的函数空间称为 空间。该空间也是一个完备空间，所有的 空间都是一个Banach空间。
空间可以写成 ，其中 表示函数的定义域， 表示函数集合， 表示Lebesgue测度，该空间中的集合都是函数。
前面定义了距离和范数的概念，但如果只有这些概念，是无法去定义向量的正交性的，也无法很好地去判断两个向量的相似性。因此，我们需要给向量赋予夹角的概念。要定义夹角的概念，我们需要首先定义内积的概念，有了内积，我们就能得到夹角。在欧几里德空间中内积的概念我们已经很熟悉了，在“数”中，假设 ，那么我们可以定义内积： 同样的，我们来广义化内积的概念，假设 是域 上的向量空间（例如 是 ， 是 ），对于 ， 我们可以定义内积 具有以下性质：
于是如果集合 中的元素满足这些性质，我们可以称之为内积空间。在内积空间中，我们能够定义范数： 同时也能定义夹角 ：
也就是说，一个内积空间必定是一个赋范空间。而如果一个内积空间（无论是有限维还是无限维）是一个完备的赋范空间，那么这个空间就被称为Hilbert空间。
因此，我们也可以参考欧几里德空间中的内积定义函数的内积（当然，这只是其中一种定义，内积定义方式不唯一）。假设 ，则可令： 为其内积。其已经被证明过是完备的，因此其就构成了一个Hilbert空间。
有了内积，我们就能去证明正交了。例如，由泰勒展开得到的基底就不是相互正交的，而由傅里叶展开的基底就是相互正交的。
在本节中，我们介绍了如何从“数”的性质来“类比”出“函数”的一些性质，包括函数之间的距离、内积等概念。同时，我们也借此介绍了能够适用于无限维元素集合的空间：Banach空间、 空间和Hilbert空间。但在本节中，我没有去说明这些空间具有哪些特殊的性质和定理，毕竟这只是一篇面向工科生的科普性的文章，有兴趣的读者可以自行查找这些空间的相关内容。
