本章致力于通过使用解析或笛卡尔方法来研究平面欧几里德几何，与前几章中围绕的解析法和下一章将介绍的三角法相对。作为这种方法的结论，我们将能够发展到这里的理论的某些方面，其中最值得注意的是对二次曲线 的初次了解。
笛卡尔平面使用两个互相垂直的直线 ,交点记作 ，称作笛卡尔坐标系的原点。然后将 都看作是 的副本，通过选择相同的度量单位以及将 视为它们的零点。这样 被分成四个射线，一半为正一半为负。而平面被分成四个象限(quadrants)。
平面内的任何点 ，我们都可以向 做垂线，设垂线分别交 于 。于是我们可以用 来表示 ， 其中第一个表示横坐标，第二个分量表示纵坐标。
关于笛卡尔坐标系的其他基础内容，我们暂时不过多介绍。
命题6.1: 给定实数 , 点 。若 在线段 上， , 则
推论6.2: 笛卡尔坐标系中给定两点 , 则它们的中点 是这两个点对应坐标的算术均值，也就是 。
备注6.3: 命题6.1中，建议写成:
特别地，中点
例6.4: 三角形 中，重心
因为若 为 中点，则 ，则推论6.2中 。
命题6.5: 两点距离公式
例6.6(Cauchy-Schwarz不等式):
若令 , 则
其中 关于 轴对称， , 取等当切仅当 , 也就是当且仅当 三点共线(collinear)。
用两点距离公式可以来回答这个问题，不存在。对于这样的问题，Minkowski的一个美丽定理见287页的问题11，该定理指出，在笛卡尔坐标平面内，正方形是唯一的、其所有顶点都可以是整数坐标的唯一正多边形。
例6.7: 在笛卡尔坐标平面中是否存在点 使得 为等边三角形?
解: 不存在!
假设存在的话，不妨设 ，其中 ，使得三角形为等边三角形。那么我们得到三角形面积为 。
另一方面来看，我们应用公式(6.4)和余弦我们还可以得到
对比上面的两个面积公式，而得到
这就产生矛盾( 为无理数)，因此假设不成立。 #
命题6.8: 给定一个实数 , 平面内两个不同的点 , 则满足关系 的平面点 的轨迹是 的垂线。更确切的说，如果 为 的中点，则这样的直线与 相交，且距离 距离为 。
证明: 以点 为原点， 所在直线为横坐标，与其垂直的直线为纵坐标建立坐标系，其中 ，设 ，于是根据两点距离公式，我们就可以得到
这也就是说 点位于直线 上，与 垂直，其中 , 命题得证 #
正如我们之前强调的，在接下来的所有内容中，我们假设在平面上给出笛卡尔坐标系。在本节中，我们研究如何在这样一个系统中代数表示直线和圆的问题。关于直线，我们有下面的基本结论。
定理6.9: 笛卡尔坐标系中每条直线 都是满足下面形式方程的点集
其中 。
证明:
当原点不在直线 上时，也就是 , 取 , 垂足 ，则 当且仅当 。利用勾股定理我们就有
其中 。只需要假设 即可。
当原点在直线 上时，此时过原点可以做直线 的垂线，然后在垂线上任取一点 , 则 当且仅当 。同样用勾股定理我们可以得到: 同样由 。只需要假设 即可。 #
上面公式(6.5)称为直线 的方程，我们可以记作
上面的 是关于变量 的一次多项式。
备注6.10:
推论6.11: 直线的过原点的垂线方程为 。
证明: 过原点的垂线也是直线，设其方程为 。根据定理6.9的证明过程我们知道一定有 。
因此就有 , 因为 , 根据上面的注解，我们可以取 #
推论6.12: 若 , 那么 的解集为笛卡尔平面的直线。
正因为这个推论，我们就可以直接将 简单的称为直线。
如果 , 我们可以进一步得到 , 这就是我们在一次函数中常见的直线形式
这就是我们常称的斜截式(slope-intercept)。
命题6.13: 笛卡尔坐标系中，非垂直直线 平行当且仅当它们具有斜截式 ， 其中 。
换句话说，平行的直线斜率相同，只是截距不同而已。
命题6.14: 笛卡尔坐标系中两个非垂直直线 垂直当且仅当 。
换句话说，垂直的两个非垂直直线的斜率成负倒数关系。
例6.15: 过直线外一点求与已知直线的平行线和垂线。
例6.16: 解析方法证明三线共点问题。
圆的定义为: 距离圆心 距离为定值 的点的集合。设圆 ， , 则
因此就可以得到方程
这个就是以 为中心，半径为 的圆方程。
当然自然会问，是否
形式的方程在笛卡尔平面都有解集，也就是圆的点集? 配方后分三种情况来讨论。
定理6.17: 在笛卡尔平面中， 代表的是空集、单点集还是圆，具体和 是否为负数、零还是正数有关。
如果 , 表示的是以 为圆心，半径为 的圆。
如果我们得到一个形式为(6.8)的方程，找出它是代表空集、单点还是圆的最简单方法是重建上述结果的证明步骤。还要注意，在这样做的时候，对于一个圆，我们最终会找到它的中心和半径。无论如何，对于一个特定的方程，这个过程非常简单: 只需完成配方即可！让我们来看一个例子。
接下来同样用解析方法来确定欧氏几何平面中的结论。
例6.19: 等腰三角形，底边中线垂直于底边。解析方法来证明。
在本节中，我们将研究二次曲线的最基本性质，即椭圆(ellipse)、双曲线(hyperbolas)和抛物线(parabolas)。正如我们将在10.4节中看到的那样。10.4，圆锥曲线这个名字来源于这样一个事实，即这些曲线可以作为圆形直角圆锥与特定位置的平面的交来获得。
定义6.20: 设平面内一个点 和直线 ，其中 ; 设实数 。焦点 的圆锥曲线(the conics of focus F), 准线 (directrix)和离心率(eccentricity) 是由满足下面条件的所有点 组成的平面曲线
其中 表示点 到准线 的距离。圆锥曲线的参数是从 到 的距离 。
我们可以通过调用笛卡尔方法来识别二次曲线的点。在上述符号中，我们选择一个笛卡尔坐标系，其中 和 具有方程 , 使得 (见图6.12，为了方便起见，我们取 并绘制了圆锥曲线的一部分，以便于读者理解）。
设 表示焦点 、准线为 、离心率为 的圆锥曲线。对于 , 位于圆锥曲线 上，我们一定有 , 由此得到 。因此，圆锥曲线的其中一点为 更一般的，我们取笛卡尔平面的任意点 (方便理解，在图6.12中准线左侧)，我们就有:
第一种情形, , 也就是说离心率为1时，称为抛物线。
在这种情况下，方程(6.12)简化为 , 或者写为
回忆一下， 为抛物线的参数，那么 , 那么方程可以写作
上图绘制的是焦点为 , 准线为 ，参数为 的抛物线， 通过查看定义，我们可以看到，点 的集合就是在笛卡尔平面内到焦点 和到准线距离相等的所有点的集合。
我们交换(6.13)中 的角色，或者说关于 的镜像，我们得到抛物线的方程:
此时焦点为 , 准线为 。
平移 轴到 , 得到一个新的笛卡尔坐标系，其中新的纵坐标(ordinate) 和原来的纵坐标之间关系为 。焦点变为 , 准线为直线 。在这个新的坐标系中，由(6.14)式子得到的新的抛物线方程将 代换为 。因为变量名与曲线无关，我们可以用 代换 ，于是得到
最终选择 ，就得到抛物线的标准形式(canonical form):
此时焦点为 , 准线为水平线，纵坐标为
该情况本应如此，正如上图6.14所示的情形。
从公式(6.15)，可以很明显得到抛物线关于 对称，这条直线称之为抛物线的对称轴(axis)。将来我们还会称点 为抛物线的顶点(vertex)。
在我们继续其他情形之前，我们线指出(6.15)式是二次函数 的图像。实际上，正如问题7所示，每个这样的图像都是抛物线。
下面来研究 的情形
策略是: 变换笛卡尔坐标系来简化上面的式子，希望对 有个较好地理解。
注意，现在在新坐标系中，焦点 , 准线 , 其中
为了简化目的，我们还用前面的方法来处理，将焦点记作 , , 使用
注意到公式(6.17)中，我们用 分别代换为 , 已然保持不变。因此我们可以在(6.12)中使用焦点 , 我们同样可以得到公式(6.17)，此时不过是焦点和准线换成对应的负值而已。
因此，在新坐标系中， 具有两个焦点 , 两条准线 , 其中 在公式(6.18)中给出。
对公式(6.17)两边同时除以 ， 方程就变为
这里中间的加号和减号的选择，根据 或 来定，这点我们可以自行验证。
接下来选择
并分别查看 或 的情形，得到
因此 的方程具有下面的形式
关于正负号的选择分别根据 来定。方程(6.21)就称为 时的标准形式。
定理6.21: 离心率 的每个圆锥曲线都有两个焦点 , 两条准线 , 且具有下面的性质:
(a) 两条准线 平行且垂直于两个焦点的连线 , 并且关于 的中点对称。
(b) 圆锥曲线关于 对称，且关于 的垂直平分线和其中间对称。
用前面定理陈述中所用的记号，我们说 的中点 是圆锥曲线的中心(center)，并且离心率 的圆锥曲线是中心化的(central)。
接下来我们来分别讨论 两种情况。
圆锥曲线离心率 时，我们称其为椭圆。椭圆方程为
其中
其中 为椭圆的参数。特别的，椭圆经过点 。线段 为椭圆的长轴和短轴( )。
因为 , 因此整个椭圆都在经过四个点 的矩形中。
上图显示的是两个焦点 的椭圆，它的准线为 , 并且有
因此有
因此 , 焦点在 之间，而两个准线在这条线段两侧。
焦距(focal distance): 椭圆的焦距为 。最终从(6.20)公式我们得到
如上所述，我们现在证明了一个结论，该结果将为我们提供椭圆几何形状的准确概念。它还提出了一个椭圆作为另一个轨迹问题的解。
定理6.22: 给定实数 , 设 。长轴为 , 短轴为 , 焦距为 的椭圆与平面中满足下面关系式的点 的轨迹重合
当 时，圆锥曲线称为双曲线(hyperbola)。双曲线的方程为:
其中
其中 为双曲线的参数。特别的，椭圆经过点 。线段 为双曲线的长轴和短轴。
双曲线如上图所示，分为左右两个分支(branches), 在经过四个点 的矩形之外。
双曲线短轴长度的一个重要几何解释来自它的渐近线(asymptotes)。
定理6.23: 给定实数 , 设 。长轴为 , 短轴为 , 焦距为 的双曲线与平面中满足下面关系式的点 的轨迹重合
在最后一节中，我们使用迄今为止开发的设备来研究二次曲线的许多有趣的性质，这些性质与直线和二次曲线相切的问题有某种关系。因此，我们从以下几点开始:
定义6.24: 抛物线 ，直线 如果不平行于抛物线的轴，且与抛物线只有一个交点，则抛物线 和直线 相切。
椭圆 (双曲线 )，若直线 与它满足 只含一个点，那么称直线 与它相切。
在上面的所有情况中，这个单独的点称为圆锥曲线和直线 的切点(tangency point)。
面对这个定义，一个自然的问题是通过点 找到圆锥曲线 的切线(如果有的话）。以下结果给出了第一个答案。
定理6.25: 圆锥曲线 , , 那么存在唯一的直线 ，经过点 且与该圆锥曲线相切。
既然我们知道切线确实存在，我们将在接下来的定理中给出切线的一个重要综合特征。正如后续的讨论和提出的问题将表明的那样，这样的结果是圆锥曲线许多重要性质的来源。
定理6.26:
a) 焦点为 ，准线为 的抛物线 。如果 , 是从点 到准线 的垂线的垂足，那么 过 的切线平分角 。
b) 焦点为 的椭圆 (或双曲线)。如果 , 那么 过 的切线平分角 。
前面的结论给出了我们一个尺规作图构造圆锥曲线任意有限个点的系统方法。
定义6.27: 如果 是焦点 和长轴 的椭圆(或双曲线），则其director circles是以 为中心、半径为 的圆。
根据前面概念定义，我们知道，椭圆的两个焦点距离小于 , 因此它的director circles包含两个焦点。双曲线的两个焦点距离大于 , 因此它的director circles只包含其中一个焦点。
命题6.28:
a) 焦点为 ，准线为 的抛物线 。直线 与 相切当且仅当焦点 关于直线 对称的点位于准线 上。
a) 焦点为 的椭圆 (或双曲线)。直线 与 相切当且仅当焦点 关于直线 的对称的点位于 中心为 的director circle上。
如前所述，我们现在使用上述结果设计一个在圆锥曲线上构造点的系统过程。同样，我们只做椭圆的情况，而双曲线和抛物线的情况留给问题4和5。
命题6.28还允许我们解决绘制通过给定点的给定圆锥曲线的切线的问题，接下来我们将这样做。我们先引入一个概念
定义6.30: 如果 是顶点 和准线 的抛物线，其辅线(auxiliary line)是过点 并平行于 的线。如果 是中心 和长轴 的椭圆（或双曲线），其辅圆(auxiliary circle)是以点 为圆心和半径为 的圆。
请注意，椭圆(或双曲线)的长轴 是其辅圆的直径。此外，对于椭圆，辅圆包含两个焦点，而对于双曲线，它不包含任何焦点。
推论6.31:
a) 焦点为 的抛物线 。直线 与 相切，那么过 且与 垂直的直线的垂足位于辅助线上。
b) 焦点为 ，中心为 的椭圆 (或双曲线)。直线 与 相切, 则从 到直线 的垂线的垂足位于辅圆上。
例6.32: 过一点绘制圆锥曲线的切线。
我们通过在圆锥曲线上建立两个漂亮的结论来结束本节，第一个结论是由Poncelet得出的。为了更好地理解下面的陈述，图6.18说明了双曲线的Poncelet定理，我们敦促读者绘制椭圆和抛物线的情况。
用不太正式的角度来看，前面几章属于欧氏平面几何，而本章和后面的几章属于欧氏立体几何(solid)。前面考虑二维平面，后面考虑三维空间。
我们还是沿用前面的惯例，使用公理的方法来指导我们的陈述，利用公理来推导进一步的结论。然而，为了简单起见，只要不会产生混淆，我们只依赖读者的直觉，不会详细列举出一些详细的假设，也不会涉及严格公理化的构建。如果我们没有给出证明的情况下做出了一些陈述，这些都被视作公理。
作为一个相关的例子，如果假设将上下文限制在某个特定平面上的对象时，我们前面几章中的欧氏几何结论依然有效。
和我们前面研究的欧氏平面几何的类似，在欧氏三维空间(立体几何)中，我们假设点、线、面为基本元素。我们简称欧氏三维空间为空间(space)，它真包含我们将要工作的所有平面，或者说至少包含一个平面(plane)。
这里使用一些简单约定(和前面的一样):
(i) 给定平面中的一个点 和一条直线 ，只有两种可能性:
(ii) 给定两个不同的点 , 在空间中确定唯一的一条经过这两个点的直线 ，可以表示为 。
关于空间中的设限(half-line)和线段(line segment)和前面的约定一致。
(iii) 空间凸集(convex): 对于非空空间子集 , ，则 称为空间凸集。
换句话说，如果集合中任意两点连线的线段依然在这个集合中，那么这个集合称为凸集合。
由平面确定的半空间(half-spaces): 假设平面 的补集是有两个相邻的凸集组成，这两个凸集称为由平面 确定的半空间。
直线与平面相交: 如果点 分别属于由 确定的两个半平面，那么直线 与平面 总是相交的，并且交点唯一。
三点共线(collinear): 如果空间中三个点位于同一条直线上，则称这三个点共线。
三个不共线的点 确定唯一一个平面, 表示为 ，如10.1图所示，我们可以记作 。
(iv) 线在平面中: 如果一条直线 与平面 有两个公共点，则称直线 包含在平面 中，记作 。
在图10.1中， 。
上面讨论我们可以知道 确定唯一的一个平面 ,这个平面包含直线 。实际上， 是直线 上的两个不同点，而 , 也就是三个不同的点确定了唯一一个平面。这个时候我们记作 。
(v) 两线共点(concurrent): 如果两个不同的直线 如果只有一个公共点，则称这两条直线共点。
两线共面(coplanar): 如果两条直线都包含在一个平面中，我们称这两条直线共面。
使用上面的记号，假设 交于点 ，设 , 立即可知道 。
另外我们可以得到结论: 共点的两条直线总是共面。
两线平行(parallel): 两直线共面但无共同点，则称这两条直线平行。
然而，平面几何和立体几何之间的一个显著区别在于，平行并不是空间中两条线没有共同点的唯一情况。即将到来的定义澄清了这一点。
定义10.1: 设 ，如果它们不共面，则称它们reverse，有些地方称为异面直线(skew lines)。
上图展示的就是 , 设 , 取 , 设 , 我们就可以断言 是reverse的。
实际上，假如说存在平面 , 因为 , 则 , 于是就产生矛盾。
两平面平行: , 则两平面 平行。
两平面相交(共点concurrent): , 则两平面 相交。此时至少有两个共同点。
图10.3左侧表示两个平面平行，右侧两个平面相交。
命题10.2: 两平面共点则相交于一条直线。
证明: 设平面 是两个不同的共点平面， 。根据之前的讨论，我们有 。
另外反证法来证明交于直线，假设不交于一条直线，也就是存在一个点 , 但 , 那么就有 ，这样产生矛盾，因此 。 #
直线 与平面 关系:
命题10.3: 直线 与平面 平行当且仅当 , 且存在 。
命题10.4: 两个不同平面 平行当且仅当存在共点直线 , 这两条直线都平行于 。
推论10.5: 给定平面 外的一点 ，只存在唯一的平面 经过点 且平行于 。
空间两条直线之间的夹角: 空间中两条直线 , 在空间中任选一点 ，经过 分别绘制平行于 的直线 , 将 之间的夹角定义为 所形成的非钝角 (non obtuse)。
要使得这样的定义有意义，我们必须证明 不依赖于点 的选择。要证明这一点，我们只需要在空间中再选择一个点 , 同样做分别平行于 的直线 , 然后证明这两条直线的夹角也是 。分两种情形来考虑:
(i) 平面 重合: 因为 , 则 ; 类似的 。因此由推论2.18立即得到结论。
(ii) 平面 不同: 和前面同样的方式，我们可以推得 。
设 。由命题10.4推得 , 选择 。
然后取点 , 设 与平面 的交点分别为 , 使得 。我们可以证明 , 特别的， , 得证结论。
很明显，如果 是直线 的夹角，那么 , 则 夹角也是 。
两直线垂直(perpendiculares): 如果两条直线 夹角为 ，那么这两条直线垂直。
两直线正交(orthogonal): 如果两条直线 是reverse, 异面直线，那么称这两条直线正交。
两条直线 不论是正交还是垂直，我们都将其记作 , 具体是正交还是垂直根据上下文来确定。
直线和平面垂直: 如果直线 与平面 的任意直线都正交，我们就称该直线与平面垂直，记作 。
命题10.8将证明，直线与平面垂直当且仅当直线与平面内的任意两条相交直线都正交。在继续之前，我们先要一个准备结论。
引理10.7: 给定直线 和平面
(a) 如果 与平面 的两条共点直线正交，那么 共点。
(b) 如果 与 交点为 ，则 当且仅当 垂直于 中通过 点的所有直线。
命题10.8: 给定一条直线 和一个平面 ， 当且仅当 与 的两条共点直线正交。
证明: 如果 , 那么通过定义自然可以得到 与平面 的任意直线都正交。
反过来，如果 与平面 中的两条共点直线 正交。需要证明 。
那么根据前面的引理，我们知道 与 相交，不妨设交点为 。那么我们可以通过点 画两条直线 ， 则 与 都垂直。而引理10.7参考图10.14，只要证明 与 平面内经过 点的所有直线 垂直即可。下面我们来证明这点。
已知 , 在直线 上选择两个关于点 对称的两个点 。然后在直线 上分别选择点 , 并设 为 和 的交点。
因为 , 因此 就有
因此 , 因此 可得 , 因此就有 。
再由 我们又得到 ，因此就得到 , 因此 是等腰三角形 底边的中线，等腰三角形底边三线合一，于是就得到 。 #
尽管上述情况存在，但目前为止，我们还没有做任何事情来保证正交线和正交平面的存在性。接下来的推论可以弥补这一点(这方面，另见第348页的问题3)。
推论10.9: 给定一个点 和一个平面 , 则存在唯一直线 经过点 且垂直于平面 。
证明: 在平面 内取直线 , 然后在平面 中画过点 的直线 , 设与直线 的垂足为 。然后过 点绘制 。最后在平面 中经过点 绘制直线 垂直于直线 。
我们断言 。事实上，因为 是平面 中的共点直线。命题10.8可以确保 。
另外，因为 , , 我们就可以得到 , 因此 垂直或正交于平面 中的任意直线，特别的 。
关于唯一性，我们用常规做法，不妨设 是两条不同的直线，都通过 且与 垂直。
设 , 因为 , 则 。这就产生矛盾，因为 是平面 中的两条不同直线，但它们都经过点 垂直于 。(参见第39页的问题17)。 #
点到平面的距离: 设 为过点 且垂直于平面 的直线，如果 和 交于点 ，则称 为从点 到平面 的垂足。并且定义点 到平面 的距离为线段 的长度。记作 。
根据三角形不等式我们立即可得: ，也就是说 是平面 中唯一一个离 最近的点。
两平行平面之间的距离: 垂直于两平面 的直线在两平面间所夹线段长度称为两平行平面 间的距离。
这里我们只需要验证任何垂直于两平行平面的直线在两平面间所夹的线段长度相等即可保证定义的良好性: 任意选择两条垂直两个平面的直线，它们与平面的交点构成的四边形为矩形，因而所考虑的线段长度相等。
推论10.9存在性证明部分所采用的推理的一个小变体将使我们能够证明即将到来的命题，这将是未来几点的核心工具。这样的结论通常被称为三垂线定理(theorem of three perpendiculars)。
命题10.10: 在空间中，给定一个平面 和两条直线 , 垂足为 ， 。
如果 , 则 。
证明: 该命题也称三垂线定理。首先注意到 。
若 ，因为 共点，于是就有 ，所以 。
反过来，假设 , 因为 共点，那么我们得到 , 所以 。 #
平面垂直: 给定两平面 , 若存在 , 则称 垂直平面 , 记作 。如下图所示:
对于 ，设 , 则 。记 交点为 。
设 , 因为 。
因为 。
对于平面间垂直具有对称性(symmetric)，因此我们如果有 , 则称 为垂直平面。
给定直线 和平面 , 其中 。选择定点 , 并取过点 的直线 ，使得 (如上图所示)。
因为平面 , 包含 。
根据问题7稍微多做一点工作，我们就可以证明 是唯一的包含直线 并且垂直于平面 的平面。
因此在后面介绍中，我们不再进一步解释这种唯一性结论的问题。
有了上面的推论10.9，我们就可以定义与平面 共点直线 的夹角。
首先我们假设 , 这个时候定义
直线 到平面 的正交投影(orthogonal projection): 简称投影，就是直线 ，其中 是唯一的包含直线 且垂直 的一个平面 。
命题10.11: 给定直线 和平面 , 它们有共同点 ，并且 。若 是 到平面 上的投影，并且 是另外一条过点 的直线，那么 。
用上面结论的视角来看，给定直线 与平面 共点，我们定义直线 和平面 的夹角 如下:
i) : 如果 。
ii) 等于直线 与其在平面 上的正投影直线之间的夹角，如果 。
定理10.12: 给定两条异面直线 , 存在唯一点 。
此外， , 取等当且仅当 。
证明: 首先在直线 上选择一个点做直线 且通过该点。则得到平面 。
类似的，在直线 上选择一个点做直线 且通过该点。则得到平面 。如上图所示。
根据命题10.4我们可以得到结论 。
设平面 是包含直线 且垂直于平面 的平面。那么平面 中存在一条与平面 垂直的直线，因为 , 因此这条直线也垂直 平面，因此也就有 。不妨设 ， 由于 。
因为 为异面直线，因此我们可以推断 共点，不妨设交点为 。
因为 , 那么经过 点且垂直于 的直线 包含在 中。
如果 是直线 的交点，那么 , 因此就有 。特别的 。
到目前为止，我们找到了两条异面直线的一条公垂线。剩下的就是证明这样的公垂线是唯一的，我们可以自行练习一下。
而定理的最后一部分的证明，我们可以简单陈述如下:
设 , 如果 , 那么问题9可以保证 。
然而因为 , 因此得到 ，取等当且仅当 ，也就是当且仅当 。特别的，如果取等的话， 是 的另一条公垂线。因此，根据两异面直线公垂线存在且唯一，我们就得到 。 #
异面直线的公垂线(common perpendicular): 上面证明过程中的直线 就是 的公垂线。
例10.13: 四个非共面点 , 满足 ，证明 的公垂线为 中点的连线。
证明: 设 中点分别为 。
( 为公共边)。
分别是 相对于边 的中线，可以得到 。
则 为底边为 的等腰三角形。而 为 的中点，那么得到 。
同样方法对 进行论证，我们可以得到 。
现在我们已经掌握了关于线和平面的基本概念和结论，我们可以将轨迹的重要概念扩展到空间几何。正如我们将在接下来看到的，从形式上讲，它与定义3.1中提出的平面中的相应概念几乎完全相同。然而，通过方便地探索它，我们将开发一套非常重要和有用的工具，结合前两节的材料，这将使我们能够构建理论中更困难的部分。话虽如此，我们有以下中心:
定义10.14: 给定空间中相对于点的性质 , 它的轨迹是点集 , 满足下面的两个条件:
(a) 中的每个点都具有性质 。
(b) 空间中具有性质 的点都属于集合 。
换句话说，集合 是性质 的轨迹，如果 完全是有空间中满足性质 的所有这些点组成的，不多不少。正如我们前面讨论的平面中的类似，我们证明的过程中需要同时证明两点都满足。
命题10.15: 给定两个不同点 , 空间中距离 相等的点的轨迹是一个平面 , 它垂直直线 , 并且经过 线段的中点。我们就称平面 是线段 的平分面。
证明: 设 是 的中点，平面 为命题中所陈述的平面。
若 , 则 , 因此由 得到 。于是就有 。
反过来，如果 如上所述，且 。 那么 是 边 的中线，因此 。
设 ，则 ， 于是 。 #
命题10.16: 给定空间中三个不共线的三个点 , 和这三个点距离相等的点的轨迹是一条直线 ， 它垂直于平面 , 且经过 的外心。我们称直线 为三角形 的中心线(medial line)。
证明: 设 为 的外心， 为过 点切垂直于平面 的直线，如上图所示。
若 ，根据 可得到 都是全等的(因为 为一条公共边, )。因此就有 。
接下来再证明，满足 的点 都在直线 上。
首先我们根据前面的和两个点距离相等的点的轨迹是线段的平分面，也就是说 点位于线段 的垂直平分面上。因为对于点 来说也是成立的，换句话说就是直线 在这三个平面中。
因为 的平分面垂直直线 , 于是得到结论 。类似的， ， 。
因此 。 #
注意，从上面的推理过程我们知道，三角形 的中心线是它的边的平分平面的交线。
定义10.17: 在空间中，二面角(dihedral angle)是两个半空间的交，这两个半平面都是由两个共线平面中的一个确定的，如上图所示。
如果平面 交于直线 , 立即可看到，这两个平面将空间划分为四个二面角。那么我们可以设由 确定的半平面记作 , 由 确定的半平面记作 。那么二面角分别由四个交集 给出。
我们称直线 为这四个两面角的边(side)，包含在这些二面角内的平面 部分称为二面角的面(faces)。
使用上面的记号，取 上的一点 ，然后做射线 (且垂直于直线 )，使得平面 的平面角(planar angle) 位于 (如上图所示)。若 是 的度量，那么我们就称 为二面角 的平面角(plane angle), 或opening。我们可以验证这样的定义不依赖于点 的选择。
使用类似的方法，我们同样可以分别定义平面 的平面角 。我们还注意到 ，并且 。
命题10.18: 给定两个交于直线 的平面 , 则空间中与 等距的点的轨迹是两个垂直平面的并集，包含直线 和由平面 形成的二面角的平分平面角，如图10.28中的平面 。这些平面被称为 的二分平面，或者对应二面角的平分平面。
证明: 选择点 , 设 分别是平面 内的直线，都经过点 并垂直于直线 (如图10.28)。
在平面 中，如果 是由 所形成的角的平分线，我们可以知道 ，因此平面 。
其次，如果 与 相交，那么立即可知 平分二面角 。
从这点上来说，可以得到 平分二面角 。
设 , 设 为过 且垂直直线 的垂足，并设 是过 并垂直于平面 的直线。
若 代表 到平面 的垂足。那么我们就有 。
因为 , , 因此由 可证得 。
因此就有 ， 是到平面 的等距点。类似的， 平面上的每一点都是到平面 等距的。
反过来，如果 是到平面 的等距点，不难证明 位于上面定义的平面 上。 #
定义10.19: 空间给定点 和一个正实数 。则 是到点 距离为 的空间点的集合(轨迹)，如图10.29。
用前面的记号，给定两个点 , 则 是 的弦(chord)。类似于平面，过球心 的弦称为球的直径(diameter)，此时点 称为 的对拓点(antipodal points)。上图中 也是对拓点。
一般来说，对于 的任意弦 ，我们都有 ，取等条件当且仅当 为对拓点。
事实上，如果 ，利用三角形不等式，对三角形 来说， 。
例10.20: 空间内给定两个点 , 证明使得 的点的轨迹是直径为 的球面，除开 两个点本身。
证明: 设 , 为空间中的点，且 。设 为 的中点，线段 是三角形 的边 的中线。因此，由推论2.44和它的逆我们就可以得到:
因此，预期的轨迹为 。 #
前面的例子解释了 的形状，如图10.29所示，根据以下论点:
使用上面例子中的符号，固定一个包含 的平面 ，前面我们已经了解到的，在 角下观察 就是 上两个 弧的能力。这一点翻译出来失去了魅力，自行对照下面的英文原文体会一把。
The previous example explains the shape of , as depicted in Fig. 10.29, according with the following argument: in the notations of the example, and fixed a plane containing , the locus of the points of that look at under an angle of is, as we already know, the union of the two arcs capable of on .
反过来，由于角度为 ，这样的并集与 中直径为 的圆重合，除了点 点。因此，通过围绕 转动 ，我们得到 ，作为空间中直径为 的所有圆的并集，除了点 点。由于这种结构，我们还说直径为 ，是直径为 半圆围绕直线 旋转产生的旋转曲面。我们将在后面的注释中对更一般的旋转曲面进行更多说明。
In turn, since the angle is , such a union coincides with the circle of diameter in , except for the points and . Hence, by turning around , we obtain as the union of all the circles in space with diameter , except for the points and . Due to this construction, we also say that the sphere of diameter is the surface of revolution generated by the revolution (i.e., rotation) of the semicircle of diameter around the straightline . We shall have more to say on more general surfaces of revolution later in these notes.
我们的下一个结果澄清了球体平面截面的性质，即球体与普通平面的可能交，不一定穿过球体的中心。
命题10.21: 空间中给定一个平面 和一个球面 。设 到平面 的距离为 。
a) 如果 , 那么 与 不相交。
b) 如果 , 那么 与 交于一点。
c) 如果 , 那么 与 交为圆 , 其中圆心 为 到平面 的垂足。
球面上某点的切线: , 那么我们说 与 相切于点 ，或者说 切于 的 点。这个时候 点称为 的切点。过球面 的点 仅有唯一的平面 与 相切。事实上， 必须过点 且与 垂直，如图10.30。
另外在命题10.21中的记号中，假设 相交于 , 其中 为 到 的距离。
我们就有 , 取等当且仅当 , 也就是当且仅当 。这种情况下，我们称 是 的大圆或者称为赤道(equator)，然后垂直于赤道的直径的两个端点分别称为球面 关于圆 的南极和北极。
如果 是中心为 的球面， 为 的非对拓点(antipodal points)，那么仅存在唯一的过 点的 的一个赤道 。事实上，设 为这样赤道的一个平面，那么每个赤道的定义都确保了 。然而，因为 不是对拓点，那么就得到 不共线。因此 。
同样我们可以定义直线和球面相切的概念: 直线 与球面 相交于唯一的点 ，则称 相切， 为其切点。
上面截图中还定义了任何一个赤道的中心线的概念。另外过球面外的一点 可以有无数条与球相切的直线。
例10.22: 给定球面 和一个点 , 如图10.31。
(a) 对于 ， 与 相切当且仅当 。
(b) , 与 相切的点 的轨迹是半径为 的圆 , 这个圆包含在 中且以 为中心线。
用上面例子中的记号，设 与 相切，我们就说 是过点 绘制 切线的长度。(a)也表明了切线长不依赖于具体切点 的选择。
另一个非常重要的轨迹是具有一定半径和给定轴的旋转圆柱体(cylinder of revolution)。为了定义它，在空间中给定一条线 和一个点 ，我们将 到 的距离定义为平面 中 到 之间的距离。
定义10.23: (旋转)圆柱体(cylinder) , 是空间中到 距离为 的点的集合。
给定点 , 设 , 若 , 那么我们就有 。因此 位于平面 的半径为 ，中心为 的圆上。
反过来，我们可以看出这样的点刚好在 上，正因如此，我们有时候称圆柱体 为正圆圆柱体(right circular cylinder)。
圆柱的母线(generatrix): 若 , , 则 , 因而 。那么直线 就称为圆柱 的母线(generatrix)。
有了这些概念，我们就可以将圆柱 的形状进行说明, 固定一个包含 的平面 ，则在平面 中离 距离为 的点的轨迹是 中的两条直线 ，它们都平行于 。那么我们可以将 围绕 轴旋转 ，就得到圆柱。
因此圆柱是第二个旋转曲面，第一个是球面。
上面讨论还表明:
定义10.24: 给定锐角 ,直线 和点 。 表示旋转圆锥面，轴线为 ，顶点 ，张角(opening)为 ，表示的是空间中的点 集合，其中 与 构成 角度。如上图所示。
从此以后，如果没有混淆风险，那么我们就将其简称为圆锥面(cone)。
本节将我们迄今为止研究的立体几何的概念和结论与第9章的材料相结合，研究圆锥曲线的其他性质。特别是，我们扩展了9.3，9.4中圆锥曲线的结论。有关圆锥曲线的更多信息，请参阅[1]。
作为定理10.26更一般结论的前奏，我们在本节开始时表明，椭圆是由既不平行也不垂直于其轴的平面组成的旋转圆柱体的平面部分。
定理10.25: 设 为旋转圆柱，轴线为 ，半径为 。如果平面 既不平行也不垂直于 ，则对应的 的平面部分为椭圆。
证明: 首先对于 为简单闭合平面曲线这点假设的合理性但不做证明，换句话说，包含在平面的曲线绘制是连续的(continuously无需将铅笔拿出纸张之外就可以完成绘制)、封闭的(closed, 也就是说绘制的终点刚好与起点重合)，并且不会自身有交点。
用 表示与平面 分别相切于 的、中心在轴线 上的两个球面( )。
因为 。我们断言 为所交椭圆的两个焦点， 为其长轴的长度。
为了证明这点，我们设 为 的公共点， 为 过点 的母线。
我们可以立即看出 与 交于具有中心线 的两个赤道 , 与 分别交于点 。
因此 与 切于点 ，例10.22的项(a)确保了 。因此就有
由定理6.22可知平面部分就是一个椭圆。 #
上述定理证明中执行的构造归功于19世纪比利时数学家Germinal Pierre Dandelin。因此， 通常被称为 相对于平面 的Dandelin球面。
接下来我们看看圆锥旋转面和平面的截面: 椭圆(ellipses), 双曲线(pyperbolas), 抛物线(parabolas)。这也就是为什么这些曲线都称为圆锥曲线、圆锥部分(conic sections)的原因。
定理10.26: 如果 是圆锥旋转面， 为不经过其顶点的平面。则 关于平面 的对应平面部分为:
(a) 如果 与 的一个单独叶(leaf)相交，并且不与母线平行，则得到的平面部分为椭圆。
(b) 如果 与 的两个叶(leaf)都相交那么得到的平面部分为双曲线(hyperbola)。
(c) 如果 与 的单个叶相交且 与其母线平行的话，得到的曲面部分为抛物线(parabola)。
证明: 下面证明(b),(c), (a)留作练习(参见问题1)。
对于(b),(c)我们都假设顶点为 ， 的轴线为 。
(b) 同样我们不证明所截的 为两个简单、开平面曲线，它们分别包含在 的一个叶中。如上图所示。
设 表示中心分别为 ，它们分别与 以及 的两片叶子相切于点 (这也就是说 与圆锥面的母线相切)。记 与 交于点 ，分别对应相切点的同侧叶上。
设 , 那么 是中心线为 的两个圆。取 , 并设 为 联系 的点。
那么 ， 因为 都与 相切。则根据例10.22(a), 我们可以得到 。
因此就有
然而很明显， 仅仅依赖于 , 也就是依赖 ，因此不依赖于 上 位置的选择。因此 的确是一个双曲线。
(c) 同样我们省略证明 是简单的、开平面曲线。如图10.37。
设 为 的母线， , 是中心在 上某点的球面，它与 切于 (在 相交的那一叶片上)。
若 接触的圆为 , 为 所在的平面， ,我们断言 为以点 为焦点、 为准线的抛物线。
接下来我们证明这一点。取 , 并标记 交于点 ，使得 。
绘制平面 , 且 。设 表示 相交的圆。记 与母线 的交点分别为 。
因为 都是通过 与 相切的，我们就有 。
另外，我们很容易得到
因为 交 的单片叶子并且平行于母线 ，第360页问题15(b)证明了 。
然而，因为 , 于是得到 。
最后，通过点 绘制平行于 且含于 点直线(这点可以做到，因为 )，并设 表示这条直线与 的交点。
因为 , 于是就有 。
再者，因为 , 于是根据349页的问题9得到 。
因此，我们最终得到
正如我们所希望的，交为抛物线。 #
同样，我们这里使用的构造球称为圆锥面 相对于平面 的Dandelin球面。
那么自然就有一个问题: 在6.3节中定义的所有椭圆、双曲线、抛物线都是旋转圆锥面的平面部分，这个命题是否为真呢？答案是真的，接下来的结论就会说明这一点。
定理10.27: 每个圆锥曲线都可以通过一个恰当的平面截取圆锥旋转面的截面而得到。
