一、五度相生律
现在有一个音，假设其频率是1，人们发现，另一个频率为2的音，除了声调较高，其他方面与这个频率是1的音非常相似。同样的，频率是4，频率是8的音也有类似的性质。这种倍频的音具有某种相似性，人们认为它们实际上是一个音的不同表现形式。 现在问题是，如何在1到2之间细化出不同的音，用以演奏。 根据实际听感，当乐音由一系列谐波组成时，听起来较悦耳，谐波要求频率组成为等比数列。毕达哥拉斯学派认为，频率比分别为最简单的整数比（1:2，2:3，3:4）时听起来最和谐。 以1.5（）为基础，发展出五度相生律解决1~2之间音调细分的问题。 五度相生律认为，应当将将基音的频率依次提高倍，这种频率形成的音最和谐。如果这个频率超出了1~2这个区间怎么办？我们知道，倍频的音具有相似性，反之，二分之一频率的音也具有相似性，我们让这个高音依次除以2，使之回到1~2的区间就行了。 用数学公式表示，就是，通过调整整数x和y，使频率落在1~2，这就是五度相生律细分1~2这段频率的方法。 为了避免无限分下去，必须人为给定一些限制。 由于这样一个数学巧合，(1)，这意味着，当基频乘上7次后，它近似会回到自身的倍频上，这就是为什么有7音阶（因为乘了7次）。 由于这样一个数学巧合，(2)，这意味着，当基频乘上12次后，它也近似会回到自身的倍频上，这就是为什么有12音（因为乘了12次）。
作出表如下：
表中蓝字部分即为7音阶，红框部分即为12音。
我们可以看到，人们最初构造7音阶的时候，是选择了x=-1到x=5这7个音，根据数学巧合(1)，这样划分近似地构成了一个循环。后来人们觉得7音阶以及数学巧合(1)近似度不够过于粗糙，使用数学巧合(2)构造12音的时候，补上了x=-2到x=-6这5个音。
为什么一定要强调音阶的划分必须可以构造出一个循环？这是因为只有构造出一个循环，才能以音阶中的任意一阶为基音，通过音律生成的法则，构建出相同的音阶体系。反之，如果无法构造出一个循环，则必须人为规定某一阶为基音，人为规定整个音律生成的法则必须停止于某一阶，这也正是传统五度相生律和纯律的问题所在。
为什么7音阶是从x=-1而不是x=0开始？这是因为1.3333为，恰巧是毕达哥拉斯学派认为最和谐的三个声音之一。
为什么构造12音的时候，补上的是x=-2到x=-6这5个音而不是x=6到x=11这5个音？这是由于数学巧合(2)毕竟是约等于而不是等于，这会使得循环递增乘形成的音和循环递减除形成的音并不完全相同。为了使这种差异尽可能的小，既然7音阶已经是递乘了，补上的5个音就递除。这样就形成了五度相生律的实际规定：乘5次，除6次，再加上基音，共12个音。
把红框部分的12音拿出来从小到大排序：
可以看出1.5刚好是7音阶中的第5个，这就是五度相生律这个名字的来源。
二、纯律
纯律是对于五度相生律的一种修正。从上表可知，五度相生律得到的e频率为1.265625，也就是，这个数字太复杂，偏偏它又非常接近1.25也就是（）。如果改成1.25，那么CEG大三和弦就从1、1.265625、1.5变成了1、1.25、1.5，后者比值恰好是连续的4:5:6，比前者（64:81:94）要和谐得多。从使和弦更和谐的角度考虑，让五度相生律中出现的所有（）都改成，这就是纯律。
三、十二平均律
由于无论是五度相生律还是纯律，其所得的12音频率都不是等比数列，这造成了转调困难的问题。同时，由于数学巧合是近似等于并非严格等于，无论是五度相生律还是纯律实际上都无法构造出一个完美的音阶循环。为了解决这2个问题，人们提出十二平均律，将1~2中的12个音的频率严格组成一组等比数列。设公比为q，则有，易得，通过这个比例可以很方便的构造12个音。
为什么是“平均律”？是为了使构造出来的音的频率满足等比关系。
为什么是“十二”？第一，五度相生律和纯律都构造了12个音，新的平均律为了更好的兼容过去的音乐体系，同样构造12个音是最好的选择；第二，出于数学巧合2，，十二平均律对于五度相生律的拟合非常之好。
