前段时间，正好有朋友问了我这个问题：e到底是什么？为什么这么特殊？
条件反射的，我马上搬出了高数书上的定义： ，balabala balabala。
但是我朋友立马打断了我，他说：我知道这个，但是为什么e爬满了数学的各个角落？这个“牵强的定义”明显不能解释这个问题。
平生最恨这种“打脸”行为，自然要好好调查调查，好让这个朋友“信服”。但是遗憾的是，翻了不少网络，发现真的是没有找到“满意”的答案。
按照我这人的性格，既然没找到满意的，那就自己写呗。哈哈哈，反正失业，who 怕 who。。。
其实翻过网上的不少答案以后，我发现了这个话题最大的问题在哪？那就是，e的发现，和e的意义其实是两码事。
e的发现非常的曲折，从约翰·纳皮尔1618年发布对数表，到1736年欧拉发布《力学》足足经过了1个世纪有余。
欧拉发现e的过程，按照普遍资料的说法是计算利息的极限获得的。这个网上资料实在很多，咱这里也就不复制粘贴了。
但是我发现，其实很多人陷入了一个误区，认为e的发现其实就是e的意义。其实这个是不对的。为什么不对，我们拿π来举例：
比起e来说，π可以说是众所皆知，π的定义是就是圆的周长和直径的比。那么圆的定义是什么？就是曲线上每一点到中心的距离一致。这么一看π的定义简直是清晰了然的不行。
但是如果我们把π扭曲一下，定义成下面这个样子呢？
我相信会有一群人过来打死我。但为什么e却是这么定义的？
这个问题最有意思的地方就是，因为历史上是先有圆，然后再去定义π的。但是却是先发现了e，然后才发现e的意义的。
那么如果我们以超越时空的视角去看e，e到底是什么呢？
首先我们看看下面这个图，如果说我们想要找一个函数，f(x)，使得f(x)和f(x)下侧面积S相等，也就是y=f(x)=S。
这样的函数具有无穷多个，但是，如果我们再强制f(0)=1的话，那么这个函数就只有那么一个独苗了。说到这儿大伙肯定已经明白这个是啥函数了。 ，或者说exp函数。而在这个地方，e取2，取3，取4都不行。e必须取2.71828。（就像是π必须取3.14一样）
exp函数才是整个数学的主角啊。就好比是对于π来说，圆才是主角啊。割圆术算什么主角？对吧？（极限法计算e本质上也是割exp函数）。
圆的最大特性是：从任意点到圆心距离不变。那exp函数的特性在哪？
exp函数的独一无二的特性就在于exp函数任意一点的切线斜率和exp函数的值相等。当然也可以说成exp函数任意一点下方左侧的面积总和和exp函数的值相等。这两种说法其实本质上是等价的。
换成数学写法就是 或者 。
这个特性看起来有点其貌不扬，实际上确是个狠角色啊。换句话来说，可能这货比圆都要拽啊。要不是数学拓展到复数的时候，“恰逢”复数的指数是在复平面旋转，可能今天的数学里π都算不上正经角色。为啥这个特性如此重要，这个实在nb的地方太多了。咱随便搬出个“核武器”泰勒展开的弱化版本，麦克劳林展开试试吧：
排除掉一切的“干扰项”，我们可以发现，这货就是一路给f(x)计算求导啊。那有什么函数求导求导再求导怎么折腾都不变？ 。。。。
er，，，，代入试试：
（收获比欧拉同学刚开始计算e的方法方便快捷10000倍的方法）
那还有什么函数求导求导求导。。。会回到自身不？sin，cos来了。
咱也代入试试：
有没有感觉怎么扯上点东西了呢？有兴趣的同学可以代入个i试试啊，貌似发现了骗妹子专用公式，嗯嗯，其实我什么都不懂哈（逃）。
当然了， 特性远远不止于上面那个例子。剩下的就交给数学大牛们吧。我这个小白还是赶快溜了的比较好。以免暴露真实水平，哈哈哈。
2019-12-27更新
神马情况，一年半前写的答案竟然突然这么多人看？那就更新更新吧。
有人问还是不理解很多公式里的e是怎么来的，我这里来举个例子吧。
假设一个小球在一个奇怪的桌面上滚动，受到桌面的阻力和速度成正比。（大家别较真，只是假如，为了展示如何推导出e的）
，其中 为固定的系数， 为当前速度。
那么小球收到的加速度 ，其中 为小球的质量。
其实我们想知道的就是在某时刻 的小球速度，我们可以记为：
我们整理一下就有了：
上式中， 和 都是固定量， 和 是两个相关的变量。
但这显然是个微分方程，不会解怎么办……那就蒙呗。
这个公式里，去掉中间的a，我们就会发现 的导数其实就是自己乘个系数，发现没。
回忆一下上面的导数不变性，我们来大胆假设一下：
公式中b和c其实就是我们等待确定的量。
当 等于0的时候， 其实就是初速度。我们换个符号 来代替。
于是 ，剩下的只要求c就好了。
待入到上门的加速度等式进去：
约去 我们有：
于是我们得到了我们想要的最终答案：
这不，e不就冒出来了么，神奇不？
再仔细回顾一下整个过程，我们就可以发现，其实我们只是用到了 导数不变的性质而已。。。
